Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Подводный дом

  1. Подводный дом

    Санкт-Петербургская 2025/26, 8 кл.
    6/10

    Для исследователей океанских глубин сделали подводные модульные домики кубической формы. Домики подвешены на некоторой глубине и со всех сторон окружены водой с температурой \(t_0 = +10^\circ\text{C}\). Для поддержания температуры внутри домика используют электрический нагреватель постоянной мощности. Внутри одиночного домика с включённым нагревателем температура воздуха установилась на уровне \(t = +19^\circ\text{C}\). Исследователи соединили четыре модуля вместе, образовав большой дом в форме буквы Г (см. рисунок). Какая температура установится в каждой секции такого дома, если мощность нагревателей останется прежней?

    Примечание: считайте, что все 6 стен одного модуля одинаково проводят тепло. Когда два модуля стыкуют, стена между ними имеет двойную толщину. Модули герметичные, соседние модули соединяют только для уменьшения потерь тепла. Соседние модули между собой не сообщаются.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Из симметрии крайние секции имеют одинаковую температуру, и средние тоже. Составьте баланс тепла для одной крайней и одной средней секции.

    Ответ

    Крайние секции (1 и 4): \(t_1 \approx 21^\circ\text{C}\); средние секции (2 и 3): \(t_2 \approx 23{,}2^\circ\text{C}\).

    Решение

    Для одиночного домика \(P = 6\alpha(t - t_0)\). В модульном доме у крайней секции пять внешних стен и одна общая со средней, у средней — четыре внешних и две общие с соседями. Стена между модулями имеет двойную толщину, поэтому её теплопроводность вдвое меньше. Из симметрии \(t_1 = t_4\), \(t_2 = t_3\), и баланс тепла для крайней и средней секций: \[P = 6\alpha(t - t_0) = 5\alpha(t_1 - t_0) + \frac{\alpha}{2}(t_1 - t_2),\] \[P = 6\alpha(t - t_0) = 4\alpha(t_2 - t_0) + \frac{\alpha}{2}(t_2 - t_1).\] Решая систему, получаем \[t_1 = \frac{120\,t - 22\,t_0}{98} \approx 21^\circ\text{C}, \qquad t_2 = \frac{12\,t - 4\,t_0 + t_1}{9} \approx 23{,}2^\circ\text{C}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх