Задачи › Тепловое расширение тел и жидкостей

«Гидростатический парадокс»

  1. «Гидростатический парадокс»

    Санкт-Петербургская 2025/26, 8 кл.
    6/10

    Два стеклянных сосуда в форме одинаковых конусов высотой \(h\) соединены тонкой стеклянной трубочкой, как показано на рисунке. Сверху оба сосуда открыты в атмосферу. В сосуды до половины высоты налита жидкость комнатной температуры. Известно, что плотность жидкости зависит от температуры по закону \(\rho = \rho_0 \dfrac{1}{1 + \alpha(t - t_0)}\). Здесь \(\rho_0\) — плотность жидкости при комнатной температуре \(t_0\), \(\alpha\) — известный постоянный коэффициент. Тепловым расширением стекла пренебрегите.

    А. Насколько увеличится уровень жидкости в сосудах при изменении температуры на малую величину \(\Delta t\)? Б. Какой объём жидкости протечёт по трубочке, соединяющей сосуды?

    Известно, что объём конуса можно вычислить по формуле \(V = Sh/3\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота конуса.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Масса жидкости в сосудах не меняется; объём растёт по закону \(V = V_0(1 + \alpha\,\Delta t)\). Прирост объёма распределяется по свободной поверхности двух сосудов.

    Ответ

    А. \(\Delta h = \dfrac{2\alpha h\,\Delta t}{3}\). Б. \(\dfrac{\alpha S h\,\Delta t}{8}\).

    Решение

    Суммарный объём жидкости в начале \(V_0 = Sh/3\), её масса \(m = \rho_0 V_0\) не меняется. При нагревании на \(\Delta t\) объём становится \(V = V_0(1 + \alpha\Delta t)\), то есть растёт на \(\Delta V = \alpha V_0 \Delta t\). Это приращение распределяется по свободной поверхности двух сосудов, суммарная площадь которой (при половине высоты) равна \(S/2\). Поэтому \[\Delta h = \frac{\alpha V_0\,\Delta t}{S/2} = \frac{2\alpha h\,\Delta t}{3}.\]

    Б. В начале в правом сосуде жидкость — конус, подобный сосуду с коэффициентом \(1/2\) по размерам, и её объём равен \(V_0/8\), в левом — \(7V_0/8\). Прирост \(\Delta V\) распределяется по двум сосудам поровну, значит, в правом сосуде прирост равен \(\Delta V/2\). Из него \(\Delta V/8\) — тепловое расширение жидкости, которая осталась в правом сосуде, поэтому по трубочке перетекает \[\frac{3\,\Delta V}{8} = \frac{\alpha S h\,\Delta t}{8}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх