Задачи › Сила тяжести и вес тела

Пиратский конструктор

  1. Пиратский конструктор

    Санкт-Петербургская 2025/26, 8 кл.
    4/10

    В конструкторе Geomag можно собирать различные геометрические фигуры из металлических шариков (вершины фигур) и стержней с магнитами на концах (рёбра фигур). Все стержни имеют одинаковую длину и массу, все шарики также одинаковые. Восьмиклассник Вова собирает из такого конструктора правильные многогранники. Сначала Вова собрал куб (рис. а) и измерил, что его масса равна \(122\) г. Затем он собрал октаэдр (рис. б), масса которого оказалась равна \(105\) г. Наконец, Вова собрал из конструктора икосаэдр, показанный на рисунке в. Правильный икосаэдр имеет 12 вершин и 20 граней в форме равносторонних треугольников. А. Чему равна масса икосаэдра, собранного Вовой? Б. Пираты сделали копию конструктора из тех же материалов, но для экономии сделали шарики в 2 раза меньшего радиуса, а стержни такой же длины, но уменьшили их радиус в 2 раза. Какую массу будет иметь икосаэдр из пиратской копии конструктора?

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сравните куб и октаэдр: у них одинаковое число стержней и разное число шариков. Масса шарика пропорциональна объёму, масса стержня — объёму стержня.

    Ответ

    А. \(237\) г. Б. \(46{,}5\) г.

    Решение

    Куб: 8 шариков и 12 стержней; октаэдр: 6 шариков и 12 стержней. Разность масс \(122 - 105 = 17\) г приходится на два шарика, значит, шарик весит \(8{,}5\) г. Восемь шариков куба весят \(68\) г, на 12 стержней остаётся \(54\) г, один стержень — \(4{,}5\) г.

    Икосаэдр: 12 шариков и 30 стержней (с каждой вершиной соединены 5 стержней), масса \(12 \cdot 8{,}5 + 30 \cdot 4{,}5 = 237\) г.

    Пиратская копия: масса шарика пропорциональна объёму, то есть уменьшается в \(2^3 = 8\) раз. Стержни той же длины, но вдвое меньшего радиуса, их сечение, а значит масса, уменьшаются в \(2^2 = 4\) раза. Масса икосаэдра: \(\dfrac{12 \cdot 8{,}5}{8} + \dfrac{30 \cdot 4{,}5}{4} = 12{,}75 + 33{,}75 = 46{,}5\) г.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх