Задачи › Сила тяжести и вес тела

Многогранная задача

  1. Многогранная задача

    Санкт-Петербургская 2025/26, 7 кл.
    4/10

    Алексей — человек многогранный: он любит играть с конструктором, увлекается математикой и физикой. На уроке геометрии Алексей собрал из конструктора Geomag модели правильных многогранников (см. рисунок). В этом конструкторе стержни с магнитами на концах соединяются при помощи металлических шариков. Стержни образуют рёбра многогранников, а шарики — вершины. На уроке физики Алексей решил измерить массы полученных многогранников. Оказалось, что масса тетраэдра, показанного на рисунке а, равна \(61\) г. Масса октаэдра (рис. б) равна \(105\) г. После этого массу куба (рис. в) и икосаэдра (рис. г) Алексей вычислил, не измеряя. Какие значения он получил? Известно, что все стержни имеют одинаковую длину и массу, все шарики также одинаковые. Правильный икосаэдр имеет 12 вершин и 20 граней в форме равносторонних треугольников.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Посчитайте, сколько шариков и стержней в каждом многограннике. Куб и тетраэдр отличаются ровно вдвое, а октаэдр и куб — только числом шариков.

    Ответ

    Масса куба \(122\) г, масса икосаэдра \(237\) г.

    Решение

    Тетраэдр: 4 шарика и 6 стержней. Куб: 8 шариков и 12 стержней, то есть ровно вдвое больше, чем у тетраэдра; значит, масса куба \(2 \cdot 61 = 122\) г.

    Октаэдр: 6 шариков и 12 стержней. По сравнению с кубом два шарика легче, и разница масс \(122 - 105 = 17\) г. Значит, масса одного шарика \(8{,}5\) г. Тогда 4 шарика тетраэдра весят \(34\) г, а шесть стержней — \(61 - 34 = 27\) г, то есть один стержень весит \(4{,}5\) г.

    Икосаэдр: 12 шариков и 30 стержней (с каждым шариком соединены 5 стержней, а каждый стержень имеет два конца). Масса \(12 \cdot 8{,}5 + 30 \cdot 4{,}5 = 237\) г.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх