Цепочка пружин

Растяжение цепочки равно сумме вкладов всех шариков: каждый шарик растягивает пружины, находящиеся над ним. Для максимума \(\Delta l\) тяжёлые шарики должны быть внизу.

Шарик сверху не растягивает ни одной пружины, второй сверху растягивает только верхнюю, а нижний шарик растягивает все пружины. Максимальная длина при подвешивании за нижний шарик реализуется, если внизу самый тяжёлый шарик, над ним следующий по массе и т. д. Минимальная длина — у той же цепочки, подвешенной за другой конец. Поэтому \(\Delta l_{max}\) — разность длин этих двух случаев.

Пусть самый лёгкий шарик имеет массу \(m = 1\) г. Тогда, суммируя вклады шариков в удлинение, получаем для самой длинной цепочки \(\dfrac{N(N+1)(N-1)}{3}\cdot\dfrac{mg}{k} = 440\,\dfrac{mg}{k}\), а для самой короткой \(\dfrac{N^3 - N}{6}\cdot\dfrac{mg}{k} = 220\,\dfrac{mg}{k}\). Отсюда \[\Delta l_{max} = 220\,\frac{mg}{k}, \qquad k = 220\,\frac{mg}{\Delta l_{max}} = 10~\text{Н/м}.\]