Цилиндр в жидкости на пружине

Запишите условие равновесия цилиндра дважды: в начале, когда он наполовину в жидкости, и в конце, когда он полностью погружён. Учтите, что при подъёме уровня дно цилиндра поднимается на \(H/2\) и пружина растягивается ещё сильнее.

\(\rho=\dfrac{\rho_0}{4}\).

Обозначим жёсткость пружины \(k\), \(V\) — объём цилиндра. Для начальной ситуации баланс сил: \[\rho gV+\dfrac{kH}{4}=\dfrac{\rho_0 gV}{2}.\] Когда уровень жидкости поднялся на \(H\), цилиндр полностью погружён, и его дно поднялось до первоначального уровня жидкости, то есть на \(H/2\). На столько же дополнительно растянулась пружина, и её удлинение стало \(\dfrac{3H}{4}\). Баланс сил для конечной ситуации: \[\rho gV+\dfrac{3kH}{4}=\rho_0 gV.\] Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(\dfrac{kH}{2}=\dfrac{\rho_0 gV}{2}\), то есть \(kH=\rho_0 gV\). Подставляя это в первое уравнение, находим \(\rho gV+\dfrac{\rho_0 gV}{4}=\dfrac{\rho_0 gV}{2}\), откуда \(\rho=\dfrac{\rho_0}{4}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.