Как сквозь землю провалился

Города «А» и «В» расположены на одном меридиане по разные стороны от экватора, но на одинаковом от него расстоянии. Таким образом, их географические широты в Северном и, соответственно, в Южном полушариях задаются одним и тем же числом. В нашем случае оно равно \(\varphi_0\). Между этими городами прорыт сквозь толщу земли прямой тоннель (см. рисунок), в котором проложен железнодорожный путь. В пренебрежении диссипативными силами сообщение между городами «А» и «В» можно осуществлять без затрат каких-либо посторонних источников энергии. Вагон без начального толчка просто отпускается в свободное движение по тоннелю из одного пункта в другой. Поскольку тоннель в любой точке имеет «гравитационный» уклон к своей середине, то силы земного притяжения на первой половине пути будут разгонять вагон, а на второй – столь же успешно тормозить его, так что в конечном пункте вагон остановится сам.

1. Сколько времени займет это путешествие? (Подсказка: установите аналогию между движением вагона в тоннеле и колебаниями груза на пружинке.)

2. К потолку вагона подвешен математический маятник, период колебаний которого в нормальных условиях равен \(T_0\). В каких пределах будет изменяться период его колебаний (от \(T_{\min}\) до \(T_{\max}\)) во время такого путешествия?

3. Каким будет период колебаний маятника, если вагон остановить в том месте тоннеля (черная точка на рисунке), из которого направление на центр Земли составляет угол \(\alpha\) с экваториальной плоскостью?

Землю считать однородным шаром. Вращением Земли пренебречь.