Вытекание

IEPhO 2020/21, 8 кл.

4/10

В задаче требуется оценка погрешностей.

Теоретическое введение}

Объемный поток жидкости \(Q\), протекающей через трубу – объем жидкости протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. Простейшая модель вытекания жидкости из шприца через тонкую иглу подразумевает пропорциональность потока \(Q\) жидкости, протекающего через иглу, высоте \(h\) водяного столба жидкости отсчитываемого от нижнего конца иглы:

\[Q=\alpha h \qquad(1)\]\(\alpha\) – постоянная величина.

Рис. 1. Шприц с иглой

1. Закрепите в штативе шприц. Под шприц поставьте стакан. Измерьте зависимость объемного потока \(Q\) жидкости, вытекающей из иглы, от высоты \(h\). Постройте график исследуемой зависимости таким образом, чтобы в область построения графика попала точка \((0;0)\). Определите угловой коэффициент зависимости \(\alpha\).

2. Исследованная зависимость может быть описана предложенной в начале условия моделью лишь с некоторой поправкой на введение эффективной длины водяного столба \(h_{эффект}=h+\Delta h\). То есть, объемный поток жидкости пропорционален некоторой эффективной длине столба жидкости, отличающейся от реального значения на величину \(\Delta h\) :

\[Q=\alpha h_{эффект} \qquad(2)\]Используя результаты измерений, проведённых в предыдущем опыте, определите величину \(\Delta h\) (численное значение и знак).

3. Потребность введения эффективной длины столба в частности связана с тем, что жидкость во время вытекания из иглы образует капли на конце иглы. Для того, чтобы этот эффект перестал иметь значение, погрузите нижний конец иглы в воду на малую глубину \(\approx 1~мм\). Повторите эксперимент по измерению объемного потока воды от высоты столба жидкости. Постройте график исследованной зависимости объемного потока \(Q\) от длины столба жидкости \(h\). Можно ли утверждать, что погружение конца иглы в воду не повлияло на коэффициент пропорциональности \(\alpha\) ? Можно ли считать, что введение поправки эффективной длины столба жидкости в такой конфигурации установки не требуется? Ответы подтвердите численными значениями, описывающими полученный график.

Оборудование

Шприц \(50~мл\) (исследуемый)
Шприц \(20~мл\) вспомогательный для перелива воды
Синяя сточенная игла \(0.6 \times 30~мм\)
Линейка \(30~см\)
Секундомер
Весы
Стакан \(0.25~л\)
Штатив с лапкой
Салфетка (для поддержания рабочего места в чистоте)

Примечание. В игле или рядом местом ее соединения с основным объемом шприца могут образовываться пузырьки воздуха, влияющие на величину потока. При обнаружении таких пузырьков вставьте поршень в шприц и создайте сильную струю в игле путем надавливания на поршень. Чтобы при вытаскивании поршня из шприца в иглу снова не попали пузыри воздуха, опустите иглу в воду.

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

1: \[\alpha=1.86 \pm 0.12~мкл/ (с\cdot см)\]; 2: \(\Delta h=-h_{0}=-2.3 \pm 0.4~см\)

Решение

1. Собсрем установку, описанную в условии. Под стакан, в который будут падать капли, поместим весы. Это обеспечит более точное определение массы воды, вытекшей из шприца, но сравнению с измерениями при использовании шкалы шприца (погрешность измерения массы с помощью весов \(\approx 0.03~г\), погрешность измерения объёма по шкале шприца \(\approx 0.5~мл\)). Будем наполнять шприц до отметок в \(V=60,50,40, \ldots~мл\) и измерять время \(t\), за которое показания весов увеличатся на \(m=1.00~г\). Расход воды можно рассчитать по формуле:

\[Q=\frac{m}{\rho t}, \qquad(3)\]где \(\rho=1.0~г/см^3\) – плотность воды. Высота от конца иголки до нулевого деления на ширице составит \(h_{0}=5.20 \pm 0.05~см\). Полная высота шкалы шприца составляет \(l=9.10 \pm 0.05~см\). Тогда высоту столба жидкости в каждом эксперименте легко рассчитать как:

\[h=h_{0}+\frac{V-0.5~мл}{60~мл} \cdot l \qquad(4)\]Необходимость смещения значения объема на \(0.5~мл\) связана с тем, что дно шприца имеет форму конуса, на котором умещается \(0.5~мл\) воды ниже нулевой отметки шкалы (определяется экспериментально). Для каждой величины \(V\) измерим время \(t\) три раза, в вычислениях используем среднее арифметическое. Занесем данные в таблицу и построим график зависимости \(Q(h)\).

\(V,~мл\)	\(h,~см\)	\(t_1,~с\)	\(t_2,~с\)	\(t_3,~с\)	\(Q,~мкл/с\)	\(t_2,~с\)	\(t_3,~с\)	\(t'_3,~с\)	\(Q_1,~мкл/с\)
60	14.22	47.06	44.62	44.69	22.00	39.75	41.75	41.03	24.48
50	12.71	52.44	50.38	52.32	19.34	44.36	48.38	48.69	21.21
40	11.19	59.75	58.65	61.44	16.68	56.35	53.68	54.98	18.18
30	9.67	72.34	71.54	72.12	13.89	63.44	61.36	65.42	15.77
20	8.16	92.59	98.56	90.98	10.63	77.22	79.32	75.04	12.95
10	6.64	124.56	121.44	122.75	8.14	97.65	99.98	98.25	10.14

Проведем аналогичный эксперимент для варианта установки, в котором игла погружена в воду. Для каждой величины \(V\) измерим время \(t'\) три раза, в вычислениях используем среднее арифметическое. Данные также внесем в таблицу, график зависимости объемного расхода \(Q_{1}\) от времени для удобства нанесем на одни те же оси с предыдущим графиком.

График зависимости \(Q\) от \(h\)

По графику можно утверждать, что полученные зависимости описываются линейными функциями с одинаковыми угловыми коэффициентами \(\alpha\), но с разными смещениями:

Ответ:

\[\alpha=1.86 \pm 0.12~мкл/ (с\cdot см)\]

2. Так, график зависимости измеренной без погружения конца иглы в воду пересекает горизонтальную ось в значении \(h_{0}=2.3 \pm 0.4~см\). Тем самым эффективная длина водяного столба меньше реального значения. То есть

Ответ:

\(\Delta h=-h_{0}=-2.3 \pm 0.4~см\)

3. Ответ:

График зависимости, измеренный при погружении иглы в воду, пересекает горизонтальную ось в меньшем значении: \(h_{1}=1.2 \pm 0.4~см\), однако, все же отличном от нуля. То есть и для второго эксперимента необходимо вводить понятие эффективной длины водяного столба, чтобы применять описанную в теоретической справке модель к данной задаче.

Источник: pho.rs/p/4362.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Вытекание

Вытекание

Похожие задачи