Трение газов

Решение

A1. Соберем установку и измерим зависимость объема воздуха в шприце от времени. Для этого будем измерять время перемещения уровня между рисками с помощью секундомера. Для каждого последующего измерения будем вынимать шприц из стакана и наполнять его воздухом.

A2. Ответ:

A3. Построим график исследованной зависимости и проведем через экспериментальные точки сглаживающую кривую.

Ответ:

График зависимости \(V\) от \(t\)

A4. Получим теоретическую формулу, описывающую измеренную зависимость. По мере заполнения цилиндра перепад давления на длине капилляра изменяется и в момент времени \(t\), показанный на рисунке установки, равен, очевидно, \(P_{1}-P_{2}=\rho_{воды} g h\), где \(\rho_{воды}\) – плотность воды. Тогда, в соответствии с формулой Пуазейля, для мгновенного расхода воздуха в момент времени \(t\) можно записать:

\[Q=-\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=\frac{\pi \rho_{воды} g h r^{4}}{8 \eta_{воздух} l} \qquad(3)\]Высоту столба воздуха выразим через объем воздуха:

\[h=H \frac{V}{V_{0}} \qquad(4)\]где \(V_{0}=20~мл\), а высота \(H=6.8 \pm 0.5~см\) – длина соответствующая расстоянию между нулевым делением и делением, соответствующим \(20~мл\) на шприце. Тогда окончательно\[\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=-\frac{\pi \rho_{воды} g V H r^{4}}{8 \eta_{воздух} l V_{0}} \qquad(5)\]

Ответ:

\[\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=-\frac{\pi \rho_{воды} g V H r^{4}}{8 \eta_{воздух} l V_{0}}\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику зависимости объема от времени в некоторой точке линейно зависит от координаты объема в этой точке.

A5. Проведем несколько касательных к графику и определим их угловой коэффициент, а также значения объема в точках касания.

График зависимости \(V\) от \(t\)

Занесём данные в таблицу и построим график зависимости модуля углового коэффициента касательных \(k\) от значения объема в точке касания.

График зависимости \(k\) от \(V\)

Видно, что исследованная экспериментальная зависимость хорошо описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:

\[K=\frac{\pi \rho_{воды} g H r^{4}}{8 \eta_{воздух} l V_{0}}=(0.0295 \pm 0.0004)~с^{-1} \qquad(6)\]Тогда для внутреннего радиуса иглы, с учетом ее длины \(l=36\) мм получаем:\[r=\left(\frac{8 K \eta_{воздух} l V_{0}}{\pi \rho_{воды} g H}\right)^{1 / 4}=(0.195 \pm 0.002)~мм \qquad(7)\]Важно, что начало металлической части иглы находится внутри синего штуцера и может быть определено на просвет.

Ответ:

\[r=(0.195 \pm 0.002)~мм\]

A6. Наденем на иглу шприца, погруженного в воду трубочку, соединенную с газовым баллоном. Нажмем на открывающций баллон кран и увидим, что газ постепенно заполняет шшииц. Для определения отношения вязкостей газов измерим время движения уровня воды при истечении газов из шприца между рисками 20 мл и 5 мл. Каждое измерение проведем несколько раз и усредним.

Тогда, исходя из формулы Пуазейля, расход газа обратно пропорционален его вязкости, а значит отношение вязкости неизвестного газа к вязкости воздуха равно отношению измеренных времен. Откуда вязкость неизвестного газа:

\[\eta_{газ}=\eta_{воздух} \cdot \frac{T_{газ}}{T_{воздух}}=(1.03 \pm 0.04) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с \qquad(8)\]

Ответ:

\[\eta_{газ}=(1.03 \pm 0.04) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\]

A7. Рассчитаем характерную скорость течения газа в первом эксперименте:

\[v=\frac{Q_{ср}}{\pi r^{2}} \approx 2.5~м/с \qquad(9)\]Тогда для числа Рейнольдса получаем:\[\operatorname{Re}=\frac{\rho v r}{\eta} \approx 35 \qquad(10)\]

Ответ:

\[\operatorname{Re} \approx 35\]

Полученное значение много меньше критического (равного \(1000\)), поэтому в данной работе течение газа можно считать ламинарным.

Оцениваем характерное расстояние установления ламинарного течения:\[l_{пер}=0.2 r \cdot \operatorname{Re} \approx 1.4~мм\qquad(11)\]

Ответ:

\[l_{пер}\approx 1.4~мм\]

Получаем, что \(l_{пер} / l_{иглы} \ll 1\), поэтому можно пренебречь длиной «переходных» отрезков системы.

Источник: pho.rs/p/1927.