Электрон и соленоид

Минимальное время — прямолинейный пролёт вдоль оси; максимальное — когда электрон идёт у стенки по винтовой линии, и вдоль оси его скорость минимальна.

\(t_{\max}-t_{\min}=\dfrac Lv\left(\dfrac1{\sqrt{1-\left(\frac{eBr}{mv}\right)^2}}-1\right)\), где \(B=\dfrac{\mu_0NI}{L}\).

Магнитное поле в соленоиде равно \(\mu_0NI/L\).

Минимальное время прохождения — при прямолинейном движении, то есть \(t_{\min}=\dfrac Lv\).

При максимальном времени прохождения электрон входит в соленоид у его края и движется вдоль поверхности соленоида по винтовой линии. Пусть ось цилиндра направлена вдоль оси \(x\). Без ограничения общности пусть в начальный момент у электрона компоненты скорости \(v_z=0\), \(v_y\), \(v_x\). Тогда \(v_x=\sqrt{v^2-v_y^2}\). Из силы Лоренца \(v_y=\dfrac{eBr}m\). Если найденное \(v_y\ge v\), то электрон может дойти до другого конца соленоида через сколь угодно долгое время. В случае \(v_y<v\) получаем \[t_{\max}=\frac L{v_x}=\frac L{\sqrt{v^2-\left(\dfrac{eBr}m\right)^2}},\] \[t_{\max}-t_{\min}=\frac Lv\left(\frac1{\sqrt{1-\left(\dfrac{eBr}{mv}\right)^2}}-1\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.