Чашка
У Тармо есть чашка, из которой он весь день пьёт воду. Проснувшись утром, он наполняет водой изначально пустую чашку. За \(T=10\) минут Тармо с постоянной скоростью выпивает ровно половину воды в чашке, после чего доливает воду из-под крана, пока чашка снова не станет полной. После этого он опять за \(T=10\) минут с постоянной скоростью выпивает половину чашки, затем снова доливает чашку и так далее до вечера, а перед сном выливает воду из чашки. Найдите среднее время, проведённое в чашке, среди всех молекул воды, которые в течение дня в какой-то момент побывали в чашке. Можно считать, что время бодрствования Тармо намного больше \(T\), а время на доливание чашки пренебрежимо мало. (8 баллов)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПросуммируйте время пребывания всех молекул в чашке двумя способами: по молекулам и по моментам времени, и приравняйте результаты.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(t=\dfrac32\,T=15\) минут.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПусть в полной чашке \(n\) молекул, за день Тармо проходит \(m\) десятиминутных периодов, а среднее время, проведённое молекулой в чашке, равно \(t\). Суммарное время, проведённое в чашке всеми молекулами, можно вычислить двумя способами.
По молекулам. Так как за день в чашку наливается всего \(\dfrac n2\cdot m\) молекул, а среднее время пребывания молекулы в чашке равно \(t\), суммарное время, проведённое в чашке всеми молекулами, равно \(\dfrac12\,nmt\).
По моментам времени. Так как в среднем в каждый момент в чашке находится \(\dfrac{n+\frac n2}{2}=\dfrac34\,n\) молекул, суммарное время, проведённое в чашке всеми молекулами, равно \(\dfrac34\,nmT\). Отсюда \[\frac12\,nmt=\frac34\,nmT,\qquad t=\frac32\,T=15\text{ минут}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Проверка работ Санкт-Петербургская 2017/18, заключительный этап, 7 кл.
- Омоложение парка Санкт-Петербургская 2020/21, отборочный этап, 7 кл.
- Средняя температура Санкт-Петербургская 2020/21, отборочный этап, 8 кл.
- Средняя скорость самолета «Бельчонок» 2014/15, отборочный этап, 8 кл.
- Средняя скорость туда и обратно «Бельчонок» 2015/16, отборочный этап, 7 кл.
- Средняя скорость за первую половину времени «Бельчонок» 2015/16, заключительный этап, 7 кл.