Планёр

Время полёта максимально, когда минимальна скорость снижения \(v\sin\alpha\); выразите её через \(C_d/C_l^{3/2}\) и воспользуйтесь графиком (касательная из начала координат).

\(t_{\max}\approx657{,}8\) с.

Пусть \(\alpha\) — угол между горизонталью и вектором скорости планёра, тогда равновесие сил выражается так: \[mg\sin\alpha=v^2kC_d,\qquad mg\cos\alpha=v^2kC_l.\] Отсюда выражаем скорость планёра. \[\sin\alpha=\frac{v^2kC_d}{mg},\qquad\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{v^2kC_d}{mg}\right)^2},\] \[mg\sqrt{1-\left(\frac{v^2kC_d}{mg}\right)^2}=v^2kC_l,\] \[m^2g^2-\left(v^2kC_d\right)^2=\left(v^2kC_l\right)^2,\] \[v^4=\frac{m^2g^2}{k^2\left(C_d^2+C_l^2\right)}\approx\frac{m^2g^2}{k^2C_l^2},\qquad v=\sqrt{\frac{mg}{kC_l}}.\] Ясно, что для максимизации времени полёта нужно минимизировать скорость снижения. Поэтому нужно найти минимальное значение величины \(\dfrac{\Delta h}{\Delta t}=v\sin\alpha\). \[v\sin\alpha=\frac{v^3kC_d}{mg}=\frac{\left(\frac{mg}{kC_l}\right)^{3/2}kC_d}{mg}=\sqrt{\frac{mg}{k}}\cdot\frac{C_d}{C_l^{3/2}}.\] Получается, что значение величины \(a=\dfrac{C_d}{C_l^{3/2}}\) должно быть (по абсолютной величине) минимальным. Чтобы найти минимальное значение, можно провести касательную к графику \((C_l)^{3/2}\)–\(C_d\), что даёт максимально возможное значение величины \(1/a=63{,}8\).

Теперь можно найти максимальное время полёта. \[t=\frac h{v\sin\alpha}=h\sqrt{\frac k{mg}}\cdot\frac{C_l^{3/2}}{C_d}.\] При использовании исходных данных получается, что максимальное время полёта \(t\approx657{,}8\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.