Задачи › Изопроцессы

Суп в банке

  1. Суп в банке

    Эстонская 2024/25, заключительный этап, 9-11 кл. · №26106
    3/10PDF: условиес решением

    На банках с супом обычно указан объём 500 мл. Но если измерить точнее, выясняется, что на самом деле в банку помещается 580 мл жидкости. На современных банках есть также так называемая кнопка безопасности, по которой можно определить, открывали ли банку: если кнопка вдавлена, в банке пониженное давление, а это значит, что после закрытия банку не открывали.

    1. [a)] Какой, по оценке, должна была быть минимальная температура супа в момент заполнения банки, чтобы кнопка безопасности вдавилась, если для вдавливания кнопки нужно усилие 5 Н, диаметр кнопки 2,5 см, теплоёмкость воздуха по сравнению с супом пренебрежимо мала, а тепловым расширением супа в данных условиях можно пренебречь?

    2. [b)] С какой силой нужно поворачивать крышку банки, чтобы открыть её, если известно, что температура супа в момент заполнения банки была 90 °C? Диаметр крышки банки 8,4 см, угол подъёма резьбы банки \(6^\circ\).

    Комнатная температура 20 °C, атмосферное давление 101 кПа. Эффектами, возникающими из-за конденсации водяного пара, пренебречь. (8 баллов)

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Объём воздуха в закрытой банке постоянен, поэтому \(p/T=\text{const}\); перепад давления на кнопке задаётся силой её вдавливания.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    a) \(T_1\approx52{,}7\text{ °C}\);  b) \(F\approx11\text{ Н}\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    a) Пусть диаметр кнопки \(d\), тогда площадь кнопки \(S=\dfrac{\pi d^2}{4}\). Разность давлений \(\Delta p=\dfrac FS=\dfrac{4F}{\pi d^2}\). Из уравнения состояния идеального газа \(pV=nRT\) при постоянном объёме получаем \(\dfrac pT=\text{const}\). Примем атмосферное давление \(p_0=101\,325\) Па и комнатную температуру \(T_0=20\,^\circ\)C. Пусть давление в банке при комнатной температуре \(p_1\), а искомая температура \(T_1\). Тогда

    \[\frac{p_0}{T_1}=\frac{p_1}{T_0},\quad\text{откуда}\quad T_1=\frac{p_0}{p_1}\cdot T_0=\frac{p_0}{p_0-\Delta p}\cdot T_0=\frac{p_0}{p_0-\frac{4F}{\pi d^2}}\cdot T_0\approx52{,}7\,^\circ\text{C}\] (умножено на температуру в кельвинах).

    b) Площадь крышки банки \(S=\pi\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2\), разность давлений \(\Delta p=p_0\left(1-\dfrac{T_2}{T_1}\right)\). Сила давления на крышку \(F_p=\Delta pS\), поэтому необходимая для поворота сила \(F=F_p\sin(6^\circ)\approx11\) Н (приложенная вдоль направления резьбы).

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх