Стержень на орбите

Рассмотрите половину стержня в системе, вращающейся вместе со стержнем: на неё действуют разность силы тяготения и центробежной силы, которые линейно зависят от расстояния до середины.

\(\sigma=\dfrac{3GM\rho L^2}{4R^3}\).

Рассмотрим ситуацию относительно середины стержня, расстояние которой от Земли равно \(R\). Пусть площадь поперечного сечения стержня \(S\). Рассмотрим теперь малый кусочек стержня длиной \(\Delta L\), расположенный на расстоянии \(x\) от середины стержня. (За положительное направление можно принять направление от Земли.) Объём этого кусочка \(\Delta V=S\Delta L\), масса \(\Delta m=\rho\Delta V\), а расстояние от Земли \(R+x\). На этот кусочек действует сила тяжести \[\Delta F_G=\frac{GM\Delta m}{(R+x)^2}\approx\frac{GM\Delta m}{R^2}-\frac{2GM\Delta m}{R^3}\,x,\] где, кроме того, мы использовали данную подсказку. Ясно, что если кусочек находится дальше от Земли, чем середина стержня, то на него действует меньшая сила тяжести, чем на кусочек, который находится ближе к Земле. Поэтому относительно середины стержня часть стержня, находящаяся дальше от Земли, тянется от Земли, а часть, находящаяся ближе, — к Земле. Так как разность сил зависит от расстояния кусочка до середины стержня линейно, можно упрощённо найти полную силу, взяв за расстояние \(x=L/4\), то есть расстояние от середины половины стержня до середины всего стержня. Тогда \[\begin{align} F_1&=\Delta F_G^{\downarrow}-\Delta F_G^{\uparrow}\\ &=\frac{GM\Delta m}{R^2}-\frac{2GM\Delta m}{R^3}\cdot\frac{-L}{4}-\left(\frac{GM\Delta m}{R^2}-\frac{2GM\Delta m}{R^3}\cdot\frac L4\right)\\ &=\frac{GM\Delta mL}{R^3}=\frac{GM\rho L^2S}{2R^3} \end{align}\] Здесь масса половины стержня \(\Delta m=\dfrac{\rho LS}{2}\). Кроме того, на кусочек стержня действует центростремительная сила \[\Delta F_C=\Delta m\,\omega^2(R+x)=\Delta m\,\omega^2R+\Delta m\,\omega^2x.\] Угловую скорость \(\omega\) стержня на орбите получаем из равенства силы тяжести и центростремительной силы для всего стержня (используя предположение \(L\ll R\)): \[m\omega^2R=\frac{GMm}{R^2}\quad\Longrightarrow\quad\omega^2=\frac{GM}{R^3}.\] Аналогично силе тяжести находим силу растяжения относительно середины стержня: \[\begin{align} F_2&=\Delta F_C^{\uparrow}-\Delta F_C^{\downarrow}\\ &=\Delta m\,\omega^2R+\Delta m\,\omega^2\frac L4-\left(\Delta m\,\omega^2R+\Delta m\,\omega^2\frac{-L}{4}\right)\\ &=\frac{\Delta m\,\omega^2L}{2}=\frac{GM\Delta mL}{2R^3}=\frac{GM\rho L^2S}{4R^3} \end{align}\] Наконец, находим напряжение, разделив полную силу на площадь поперечного сечения стержня:

\[\sigma=\frac{F_1+F_2}{S}=\frac{3GM\rho L^2}{4R^3}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.