Больше или меньше

На плоскости \(pV\) точка состояния не может уходить ни на более низкую изотерму, ни на более низкую адиабату: процесс лежит между изотермами и адиабатами, проходящими через состояния 1 и 2. Вспомните, что \(\delta Q = T\,dS\): при каком ходе температуры тепло максимально и минимально?

Способ 1. Через любую точку, соответствующую состоянию газа в координатах \(pV\) проходит ровно одна изотерма. Изотермы друг с другом не пересекаются и расположенным выше изотермам соответствуют большие температуры. При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 точка, соответствующая его состоянию, не может перемещаться с «верхних» изотерм на «нижние», так как температура газа не уменьшается, а траектория процесса лежит между изотермами, проходящими через точки 1 и 2.

Если теперь рассмотреть аналогичным образом на той же \(pV\)-плоскости семейство адиабат, то точка, соответствующая состоянию газа не может перемещаться с «верхних» адиабат на «нижние», так как тепло от газа не отводится, следовательно, траектория процесса лежит между адиабатами, проходящими через точки 1 и 2 (см. рис.).

Покажем, что максимальное количество теплоты в таком процессе подводится к газу в случае, если его сначала адиабатически перевести из состояния 1 в состояние 3, затем изотермически из состояния 3 в состояние 2. Рассмотрим цикл \(1-3-2-1\), полагая переход из состояния 2 в состояние 1 произвольным, лежащим внутри криволинейного четырёхугольника \(1-3-2-4-1\). Работа в этом цикле равна разности подведённого на участке \(1-3-2\) количества теплоты \(Q_{132}\) и отведённого при переходе \(2-1\) количества теплоты \(Q_{21}\). Так как работа положительна, \(Q_{132} > Q_{21}\). Так как процесс 21 выбран произвольно (при ограничениях на подвод тепла и изменение температуры, которые оговорены в условии), то величина \(Q_{132}\) соответствует максимальному значению количества теплоты, которое может быть подведено при таком переходе. Аналогично можно показать, что минимально возможному количеству теплоты соответствует процесс, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния 1 в состояние 4, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния 4 в состояние 2.

Способ 2. Приведём анализ характера процессов \(A\) и \(B\) с использованием понятия энтропии. Процессы \(A\) и \(B\) протекают так что, в течение всего процесса температура газа не уменьшается и тепло от газа не отводится, значит энтропия в этих процессах не может уменьшаться. Подведенная теплота и изменение энтропии связаны соотношением: \(\delta Q = T\,dS\).

Процесс \(A\) протекает с максимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при максимально возможной температуре. Для этого систему нужно перевести без подвода тепла в состояние с максимально возможной температурой, что соответствует процессу, при котором газ сначала адиабатически сжимается из состояния 1 в состояние 3, а затем изотермически расширяется, переходя из состояния 3 в состояние 2. Процесс \(B\) протекает с минимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при минимально возможной температуре, после чего в состояние 2 систему нужно перевести без подвода тепла. Это соответствует процессу, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния 1 в состояние 4, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния 4 в состояние 2.

Перейдём к вычислению объёмов, соответствующих точкам 3 и 4. Уравнение, связывающее переменные \(T\) и \(V\) в адиабатическом процессе: \[TV^{\gamma-1} = \text{const},\] где \(\gamma\) — показатель адиабаты. Для одноатомного идеального газа \(\gamma = 5/3\) и \(TV^{2/3} = \text{const}\). Отсюда для процесса \(A\): \[TV^{2/3} = 2T\left(V_A^{\min}\right)^{2/3}, \quad V_A^{\min} = \frac{V}{2\sqrt2}.\] Очевидно, что \(V_A^{\max} = 2V\). Для процесса \(B\): \[2T\cdot(2V)^{2/3} = T\cdot\left(V_B^{\max}\right)^{2/3}, \quad V_B^{\max} = 4\sqrt2\,V.\] Разумеется \(V_B^{\min} = V\).

Теплота в этих процессах подводится на изотермах. Количество теплоты в изотермическом процессе равно работе газа. Для процесса \(A\): \[Q_A = 2\nu RT\ln\frac{V_2}{V_3} = 5\nu RT\ln2.\] Для процесса \(B\):

\[Q_B = 2\nu RT\ln\frac{V_4}{V_1} = \frac52\nu RT\ln2.\]