Зацепился

В момент зацепления скорость среднего шарика вертикальна, а проекции скоростей шариков на горизонтальную нить равны — значит, боковые шарики ещё покоятся. В системе отсчёта, движущейся вместе со средним шариком, боковой шарик идёт по окружности радиуса \(d\): отсюда его ускорение.

Скорость падающего шарика в момент, когда он цепляется за горизонтальную нить, \(v = \sqrt{2gh}\). Рассмотрим движение одного из шариков, подвешенных на нитях (на рисунке 1 — левого). Он движется по окружности с центром в точке крепления нити на левой стенке. Проекции скоростей левого и центрального шарика на горизонтальную нить должны быть равны. Скорость центрального шарика \(v\) направлена вертикально вниз. Следовательно, скорость левого шарика в начальный момент времени равна нулю. Нормальная проекция ускорения левого шарика, поэтому равна нулю, есть только тангенциальная составляющая \(\vec a_\tau = \vec a\). Определим эту величину.

Способ 1. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вниз с постоянной скоростью \(\vec v\) (рис. 2). В ней левый шарик движется по окружности, центром которой является центральный шарик. Нормальная проекция ускорения в этой системе отсчёта направлена вдоль нити и равна \(a_n' = v^2/d\). Но переход в инерциальную систему отсчёта не меняет ни величину, ни направление ускорения. Поэтому \(a_n\) является проекцией \(\vec a\) на горизонтальную нить \[a_n' = a\cdot\cos\alpha, \quad \frac{v^2}{d} = a\cdot\cos30^\circ, \quad a = \frac{2v^2}{\sqrt3\,d}.\]

Способ 2. Перейдем в неинерциальную систему отсчёта левого шарика, тогда на центральный шарик будет дополнительно действовать сила инерции \(-m\vec a\) (см. рис.). Запишем для центрального шарика уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось: \[m\frac{v^2}{d} = T_2 - ma\cos30^\circ - T_2'.\] Откуда получаем тот же ответ.

Теперь уже несложно найти натяжения \(T_1\) боковой и \(T_2\) горизонтальной нитей. Из второго закона Ньютона для левого шарика \[m\frac{v^2}{d} = T_2 - T_1\cdot\sin30^\circ, \quad m\frac{v^2}{\sqrt3\,d} = T_1\cos30^\circ - mg.\] Решая систему, получаем

\[T_1 = \frac{2\sqrt3}{3}mg + \frac{2mv^2}{3d}, \quad T_2 = \frac{\sqrt3}{3}mg + \frac{4mv^2}{3d}g.\] Заменив \(v^2 = 2gh\), получаем окончательно \[T_1 = \frac{mg}{3}\left(2\sqrt3 + 4\frac{h}{d}\right), \quad T_2 = \frac{mg}{3}\left(\sqrt3 + 8\frac{h}{d}\right).\]