Термоареометр (теоретический тур)

Найдите скорость перемещения температурной шкалы: при изменении температуры на 16 °C шкала сдвинулась на часть своей длины. Затем определите, с какой скоростью меняется плотность на каждом линейном участке графика, и переведите это в смещение плотностной шкалы.

Длина температурной шкалы \(L = 10\) см, её пределы измерения — от \(-20\) °C до \(+20\) °C. В ходе эксперимента показания шкалы температур изменялись от \(+20\) °C до \(+4\) °C. Значит, шкала сместилась на \[\Delta x_T = \dfrac{20\,^{\circ}\text{C} - 4\,^{\circ}\text{C}}{20\,^{\circ}\text{C} - (-20\,^{\circ}\text{C})}\cdot 10~\text{см} = 4{,}0~\text{см}.\] Так как шкала смещалась равномерно в течение \(\Delta\tau = 5\) мин, её скорость относительно указателя \[\upsilon_T = \dfrac{\Delta x_T}{\Delta\tau} = \dfrac{4~\text{см}}{5~\text{мин}} = 0{,}8~\text{см/мин}.\] 1) Скорость остывания \(\dfrac{\Delta T}{\Delta\tau} = 3{,}2~\dfrac{^{\circ}\text{C}}{\text{мин}}\).

2) График \(\rho(T)\):

Из графика видно, что изменение плотности линейно зависит от температуры (а значит, и от времени, так как температура меняется равномерно) на двух участках. На первом участке модуль скорости изменения \[\left|\dfrac{\Delta\rho}{\Delta\tau}\right| = \dfrac{1{,}20 - 1{,}08}{8 - 4}\cdot 3{,}2 = 0{,}096~\dfrac{\text{г/см}^3}{\text{мин}},\] а на втором \[\left|\dfrac{\Delta\rho}{\Delta\tau}\right| = \dfrac{1{,}05 - 1{,}01}{20 - 12}\cdot 3{,}2 = 0{,}016~\dfrac{\text{г/см}^3}{\text{мин}}.\] Это меньше, чем на первом участке.

Длина шкалы плотностей \(L = 10\) см, её пределы — от \(0{,}8\) г/см\(^3\) до \(1{,}2\) г/см\(^3\). Значит, максимальная по модулю скорость смещения шкалы плотностей относительно указателя будет на первом участке: \[\upsilon_\rho = \dfrac{10~\text{см}}{(1{,}2 - 0{,}8)~\text{г/см}^3}\left|\dfrac{\Delta\rho}{\Delta\tau}\right| = 2{,}4~\dfrac{\text{см}}{\text{мин}}.\] Так как шкалы движутся в противоположные стороны, их относительная скорость \[\upsilon = \upsilon_\rho + \upsilon_T = 3{,}2~\dfrac{\text{см}}{\text{мин}}.\]