Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Надавить и поехать

  1. Надавить и поехать

    «Газпром» 2024/25, 9 кл.
    5/10

    При попытках сдвинуть ТЯПК-А оказалось, что МЭТР буксует и отлично роет землю. Было принято решение перенести часть нагрузки с ТЯПКи на МЭТРа, чтобы увеличить силу трения его колёс. Для этого робот будет упираться штоком в дно ТЯПКи, сжимая свою пружину на какую-то величину. Рассчитайте эту величину и передайте выездной группе.

    Найти минимальную величину сжатия пружины МЭТРа, при которой его колёса не будут проскальзывать при старте движения. Все три колеса приводные, одинаковые и имеют сферическую форму, причём радиус пятна контакта с поверхностью невероятно мал. ТЯПК-А — прямоугольная платформа на четырёх парах колёс, расположенных по углам. Шток МЭТРа касается платформы в геометрическом центре прямоугольника.

    Рисунок

    Допущения: 1) все колёса МЭТРа расположены симметрично относительно штока; 2) вся конструкция имеет многократно большую жёсткость, чем пружина в направлении рабочего сжатия; 3) вал колеса МЭТРа прикреплён к центру сферы; 4) в исходном состоянии МЭТР неподвижен, колёса не вращаются; 5) поверхность пола горизонтальна.

    Упрощённая кинематическая модель МЭТРа в составе малой загруженной ТЯПК-А:

    Рисунок

    1. Предоставьте рисунок, на котором будут изображены колесо МЭТРа в контакте с полом и все силы, относящиеся к взаимодействию двух тел.

    2. Предоставьте формулу расчёта минимальной величины поджатия штока в общем виде с использованием переменных задачи.

    3. Предоставьте численный результат в миллиметрах, округлённый до первых трёх значащих цифр.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Момент, создаваемый на валу колеса, даёт тяговую силу в пятне контакта; при старте она должна равняться силе трения покоя. Нормальная сила на колесо — это доля суммарного веса и силы поджатия штока.

    Ответ

    \(\Delta l = \dfrac{1}{k_{\text{пр}}}\left(\dfrac{3M_к}{k_{\text{тп}}\,h} - m_м g\right)\), где \(h = \sqrt{(D/2)^2 - r^2}\); \(\Delta l \approx 379\) мм.

    Решение

    Тяговая сила, создаваемая моментом \(M_к\), приложена к пятну контакта и равна силе трения покоя: \(F_{\text{тяг}} = F_{\text{тр}}\), где плечо \(h = \sqrt{(D/2)^2 - r^2}\), так что \(\dfrac{M_к}{h} = N\,k_{\text{тп}}\), откуда \(N = \dfrac{M_к}{k_{\text{тп}}\,h}\).

    Нормальная сила на одно колесо равна трети суммы веса МЭТРа и силы поджатия штока: \(N = \dfrac{m_м g + F_{\text{шт}}}{3}\), откуда \(F_{\text{шт}} = \dfrac{3M_к}{k_{\text{тп}}\,h} - m_м g\).

    По закону Гука \(F_{\text{шт}} = k_{\text{пр}}\Delta l\), поэтому \[\Delta l = \frac{1}{k_{\text{пр}}}\left(\frac{3M_к}{k_{\text{тп}}\,h} - m_м g\right).\] Численно: \(h = \sqrt{0{,}5^2 - 0{,}05^2} = 0{,}497\) м, \(\Delta l = \dfrac{3 \cdot 3000/(0{,}85 \cdot 0{,}497) - 234\cdot 10}{50\,000} \approx 0{,}379\) м \(= 379\) мм.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх