Два чёрных ящика с резисторами

Примем, что потенциал электрического поля в средней точке, лежащей на проводнике, который соединяет «чёрные ящики», равен нулю. Так как исследуемая электрическая схема состоит только из элементов, для которых справедлив закон Ома, то потенциалы \(\varphi_A\) клеммы \(A\) и \(\varphi_B\) клеммы \(B\) должны линейно зависеть от сил токов \(I_A\) и \(I_B\), протекающих через эти клеммы при подключении к ним омметра: \[\varphi_A = I_Ar_{AA} + I_Br_{BA}\quad\text{и}\quad \varphi_B = I_Ar_{AB} + I_Br_{BB},\] где \(r_{AA}\), \(r_{BA}\), \(r_{AB}\) и \(r_{BB}\) — некоторые постоянные коэффициенты. Аналогичные соотношения можно записать для потенциалов \(\varphi_C\) и \(\varphi_D\) клемм \(C\) и \(D\) (при этом нужно учесть, что потенциалы этих клемм отрицательны в силу выбора нулевого значения потенциала в средней точке): \[-\varphi_C = I_Cr_{CC} + I_Dr_{DC}\quad\text{и}\quad -\varphi_D = I_Cr_{CD} + I_Dr_{DD},\] где \(r_{CC}\), \(r_{DC}\), \(r_{CD}\) и \(r_{DD}\) — также некоторые постоянные коэффициенты.

При подключении омметра к клеммам \(A\) и \(C\) токи \(I_A\) и \(I_C\) совпадают: \(I_A = I_C = I_{AC}\), а \(I_B = I_D = 0\). Следовательно, \(\varphi_A = I_{AC}r_{AA}\) и \(-\varphi_C = I_{AC}r_{CC}\). Отсюда получаем: \(\varphi_A - \varphi_C = I_{AC}(r_{AA} + r_{CC})\). Следовательно, показание омметра \(R_{AC} = r_{AA} + r_{CC}\). При подключении омметра к клеммам \(B\) и \(D\) токи \(I_B\) и \(I_D\) совпадают: \(I_B = I_D = I_{BD}\), а \(I_A = I_C = 0\). Отсюда \(\varphi_B = I_{BD}r_{BB}\) и \(-\varphi_D = I_{BD}r_{DD}\), то есть \(\varphi_B - \varphi_D = I_{BD}(r_{BB} + r_{DD})\), и \(R_{BD} = r_{BB} + r_{DD}\). При помощи аналогичных рассуждений можно показать, что \(R_{AD} = r_{AA} + r_{DD}\) и \(R_{BC} = r_{BB} + r_{CC}\). Отсюда следует, что \(R_{AC} + R_{BD} = R_{AD} + R_{BC}\), то есть \(R_{BC} = R_{AC} + R_{BD} - R_{AD}\). Заметим, что решение задачи существует только при условии \(R_{AC} + R_{BD} \geqslant R_{AD}\), так как значение сопротивления \(R_{BC}\) не может быть отрицательным.

Существует и другой способ решения задачи. Он основан на том, что «чёрный ящик» с тремя выводами, содержащий только резисторы, можно заменить на эквивалентную схему, в которой между выводами включены всего три резистора, соединённые либо «звездой», либо «треугольником». В данном случае удобнее заменить каждый из «чёрных ящиков» на схему, состоящую из трёх резисторов, соединённых «звездой», как показано на рисунке.

Тогда \[\begin{aligned} R_{AC} &= R_1 + R_3 + R_4 + R_5,\\ R_{AD} &= R_1 + R_3 + R_4 + R_6,\\ R_{BC} &= R_2 + R_3 + R_4 + R_5,\\ R_{BD} &= R_2 + R_3 + R_4 + R_6. \end{aligned}\] Отсюда снова получаем соотношение \(R_{AC} + R_{BD} = R_{AD} + R_{BC}\), из которого следует ответ задачи.