Брусок в ёмкости на тросах

Сумма натяжений тросов равна силе давления воды на дно ёмкости: ёмкость невесома. Найдите высоту уровня воды по объёму и напишите условие равновесия бруска.

В силу симметрии силы натяжения обоих тросов равны, \(T_1 = T_2\). Обозначим \(T = T_1 + T_2\). Сила \(T\) равна силе давления воды на дно ёмкости: \[T = \rho_\text{в}\,g\,hS,\] где \(h\) — высота воды в ёмкости после погружения бруска, \(S\) — площадь дна. Так как \(Sh = V_\text{в} + V_\text{б}\), получаем \[T = \rho_\text{в}\,g\,(V_\text{в} + V_\text{б}).\] Условие равновесия бруска: \(T + F_\text{Арх} = m g\). Подставляя силу Архимеда, \(T\) и массу \(m = \rho_\text{б}V_\text{б}\): \[\rho_\text{в}g(V_\text{в}+V_\text{б}) + \rho_\text{в}gV_\text{б} = \rho_\text{б}V_\text{б}g.\] По условию \(V_\text{б} = 0{,}2\,V_\text{в}\), поэтому \[1{,}2\,\rho_\text{в}V_\text{в} + 0{,}2\,\rho_\text{в}V_\text{в} = 0{,}2\,\rho_\text{б}V_\text{в} \quad\Rightarrow\quad \rho_\text{б} = 7\,\rho_\text{в}.\]