Статистика

Решение

A1. Проводим \(N=40\) измерений, результаты заносим в таблицу.

Ответ:

A2. Вычисляем долю случаев \(w(n)\) и величину \(n^{2}\) для всех значений величины \(n\).

По полученным значениям строим гистограмму.

Ответ:

Рис. 1. Гистограмма частоты встречаемости w(n) количества пересечений \(n\)

A3. Вычисляем среднее значение случайной величины:

\[n_{ср}=\frac{\sum_{i=1}^{10} n_{i} m_{n}}{N}=\frac{253}{40} \approx 6.33.\]

Ответ:

\[n_{ср}\approx 6.33\]

A4. Определяем среднее значение квадрата случайной величины:

\[\left(n^{2}\right)_{ср}=\frac{\sum_{i=1}^{10} n_{i}^{2} m_{n}}{N}=\frac{1713}{40} \approx 42.83\]Затем вычисляем среднеквадратичную погрешность, используя формулу, данную в условии задачи. Получаем результат:

\[\sigma=\sqrt{\frac{\left(n^{2}\right)_{ср}-n_{ср}^{2}}{N}} \approx 0.27\]Получаем окончательный ответ для значения случайной величины:

Ответ:

\[n=6.33 \pm 0.27\]

A5. Экспериментальное значение вероятности пересечения линии равно отношению среднего количества пересечений к максимально возможному количеству пересечений, которое в каждом измерении равно числу всех зубочисток:\[w_{экс}=\frac{n_{ср}}{10}=\frac{6.33}{10}=0.633.\]

Ответ:

\[w_{экс}=0.633\]

A6. Рассмотрим две соседние линии на бумаге и зубочистку, расположенную под углом \(\varphi\) к каждой из линий (см. рисунок 2). Длину зубочистки обозначим за \(l\). Находясь между положениями 1 и 2 зубочистка не пересекает линию на листе, находясь между положениями 2 и 3 – пересекает. Расстояния между положениями 1 и 2 и между положениями 2 и 3 равны \(l_{12}=l(1-\sin \varphi)\) и \(l_{23}=l \sin \varphi\) соответственно. Вероятность пересечения линии зубочисткой, расположенной под углом \(\varphi\) к линиям, равна отношению длины участка между положениями 2 и 3 к расстоянию между линиями:

\[w(\varphi)=\frac{l \sin \varphi}{l}=\sin \varphi\]

Рисунок 2. Зубочистка на бумаге

А вероятность того, что зубочистка будет расположена к линиям под углом \(\varphi\) в интервале \(\mathrm d \varphi\) равна:

\[w(\mathrm d \varphi)=\frac{\mathrm d \varphi}{2 \pi}\]Тогда вероятность пересечения линии зубочисткой, находящейся под углом \(\varphi\) в интервале \(\mathrm d \varphi\), равна:

\[\mathrm d w=\frac{\sin \varphi \,\mathrm d \varphi}{2 \pi}.\]Таким образом, вероятность пересечения зубочистки с линией:\[w_{теор}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{|\sin \varphi|}{2 \pi} d \varphi=\frac{2}{\pi} \qquad(1)\]

Ответ:

\[w_{теор}=\frac{2}{\pi}\]

A7. Считая, что \(w_{теор}=w_{экс}\), определим значения числа \(\pi\) по формуле:

\[\pi_{ср}=\frac{2}{w_{экс}}=\frac{2}{0.633} \approx 3.16.\]Погрешность оценим по формуле:

\[\sigma_{\pi}=\pi_{ср} \frac{\sigma}{n_{ср}} \approx 0.13.\]Окончательный ответ:

Ответ:

\[\pi=3.16 \pm 0.13\]

Дополнение

Вывод формулы \((1)\) без вычисления интеграла.

Рассмотрим зубочистку той же длины \(l\), но имеющую изгиб в одной точке, делящий ее на две части длинами \(l_{1}\) и \(l_{2}\). При расчете погрешности пересечения такой зубочистки с линиями листа мы можем рассматривать две части зубочистки отдельно, так как каждая из них «прокручивается» от 0 до \(2 \pi\) независимо от взаимного расположения частей. Для каждой части вероятность пересечения с линией пропорциональна ее длине: \[w_{1}=k l_{1}, ~~w_{2}=k l_{2}\] А вероятность пересечения изогнутой зубочистки с линиями равна сумме вероятностей пересечения ее частей с линиями: \[w=w_{1}+w_{2}=k l_{1}+k l_{2}=k l.\]

Получается, что вероятность пересечения зубочистки с линиями не зависит от взаимного расположения линейных частей зубочистки между собой, а зависит лишь от полной длины зубочистки. К тому же зубочистку любой формы можно представить как совокупность большого количества маленьких линейных частей, и эта формула по-прежнему останется верна. Теперь рассмотрим «зубочистку» в виде окружности длины \(l\) и определим вероятность ее пересечения с линиями листа. Диаметр такой окружности будет равен \(d=l / \pi\). Аналогично случаю с прямой зубочисткой, эту вероятность можно определить из геометрии: \[w_{теор}=2 d / l=2 / \pi\]Коэффициент 2 появляется в связи с тем, что круглая зубочистка имеет две точки пересечения с линией (случаи с касанием окружности и линии отбрасываются, так как их бесконечно меньше, чем случаев с двумя точками пересечения окружности и линии).

Из предыдущих соображений следует, что прямая зубочистка длины \(l\) будет иметь такую же вероятность пересечения с линиями. Таким образом, мы получили формулу \((1)\) без вычисления интеграла.

Источник: pho.rs/p/4021.