Растворяющийся кристалл соли

Растворение меняет плотность воды. Найдите плотность раствора после растворения двух третей кристалла и сравните вес остатка с \(P/3\).

Если бы плотность воды не менялась, то вес остатка кристалла был бы ровно одной третью начального веса в воде. Но при растворении меняется плотность воды, и это нужно учесть.

Вес кристалла в воде до растворения: \(P = (\rho - \rho_0)gV\), где \(\rho\) и \(V\) — плотность и объём кристалла, \(\rho_0\) — плотность воды до растворения. Масса растворённых двух третей кристалла \(\tfrac{2}{3}\rho V\), объём воды \(4V\). Масса воды после растворения \(4\rho_0 V + \tfrac{2}{3}\rho V\), объём раствора \(4V + \tfrac{2}{3}V = \tfrac{14}{3}V\). Плотность раствора: \[\rho_1 = \frac{4\rho_0 V + \tfrac{2}{3}\rho V}{\tfrac{14}{3}V} = \frac{12\rho_0 + 2\rho}{14} = \rho_0 + \frac{1}{7}(\rho - \rho_0).\] Вес остатка кристалла (объём \(V/3\)) в растворе плотности \(\rho_1\): \[P_1 = \frac{1}{3}mg - \rho_1 g\frac{V}{3} = \frac{1}{3}(\rho - \rho_0)gV - \frac{1}{21}(\rho - \rho_0)gV = \frac{P}{3} - \frac{P}{21}.\] Таким образом, вес остатка меньше одной трети первоначального веса в воде на \(\dfrac{P}{21} = \dfrac{0{,}27}{21}~\text{Н} \approx 0{,}013\) Н.