Теплоёмкость пузыря с газом

Теплота, полученная системой, идёт на изменение внутренней энергии газа и на работу, которую газ совершает против упругости оболочки. Найдите давление газа, выразив его через \(\sigma\) и радиус шара, а затем учтите зависимость площади от температуры.

Первый закон термодинамики для малого подвода теплоты: \(\Delta Q = \Delta U + \Delta A\), откуда \(C = \dfrac{\Delta U}{\Delta T} + \dfrac{\Delta A}{\Delta T}\).

Для двухатомного газа \(U = \dfrac{5}{2}\nu R T\), поэтому \(\dfrac{\Delta U}{\Delta T} = \dfrac{5}{2}\nu R\).

Работа газа при малом изменении объёма \(\Delta A = P\Delta V\) совпадает с работой растяжения оболочки: \(\Delta A = \sigma\Delta S\). Давление найдём из условия \(\sigma\Delta S = P\Delta V\): \[P = \sigma\frac{dS}{dV} = \sigma\frac{d(4\pi r^2)}{d\left(\frac{4\pi}{3}r^3\right)} = \frac{2\sigma}{r}.\] Из уравнения Клапейрона–Менделеева \(PV = \nu RT\) с \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) и \(P = 2\sigma/r\) получаем \(T = \dfrac{2\sigma S}{3\nu R}\), откуда \(\dfrac{dS}{dT} = \dfrac{3\nu R}{2\sigma}\). Тогда \[\frac{\Delta A}{\Delta T} = \sigma\frac{dS}{dT} = \frac{3}{2}\nu R.\] Итого \(C = \dfrac{5}{2}\nu R + \dfrac{3}{2}\nu R = 4\nu R\).