Колечко на изогнутом стержне

За малый интервал времени стержень повернётся на малый угол \(\Delta\alpha\). Перемещение колечка по прямой \(CD\) найдите через длину участка \(AK\) и \(\Delta\alpha\). Длину \(AK\) выразите через \(l\) и \(\alpha\), спроецировав ломаную \(OAK\) на перпендикуляр к \(CD\).

Рассмотрим малое перемещение колечка за малый интервал времени \(\Delta t\) около того момента, когда часть стержня \(AB\) составляет угол \(\alpha\) с прямой \(CD\). За этот интервал часть стержня \(AB\) повернётся на малый угол \(\Delta\alpha\) по сравнению со своим первоначальным положением, и изменится также положение точки \(A\). Очевидно, перемещением колечка является отрезок \(KK'\), который можно найти как \[KK' = \frac{AK\cdot\Delta\alpha}{\sin\alpha},\] где \(AK\) — длина участка стержня от точки \(A\) до колечка (поскольку перемещение точки \(A\) мало, вклад изменения положения точки \(A\) в перемещение колечка — малая величина, и его не учитываем). Так как \(\Delta\alpha = \omega\,\Delta t\), то для скорости колечка получаем \[v = \frac{KK'}{\Delta t} = \frac{AK\cdot\omega}{\sin\alpha}.\] Найдём длину \(AK\). Геометрически находим \[OA\cos\alpha + AK\sin\alpha = 2l,\] отсюда \[AK = \frac{l\,(2-\cos\alpha)}{\sin\alpha}.\] В результате для скорости колечка получаем \[v = \frac{(2-\cos\alpha)\,l\,\omega}{\sin^2\alpha}.\]