Цепь с реостатом

Сопротивление цепи не зависит от положения ползунка, значит, через реостат ток не течёт. Какое соотношение между \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\) тогда должно выполняться?

Сопротивление цепи не будет меняться при перемещении ползунка реостата только в том случае, когда через реостат не течёт электрический ток. Это значит, что напряжение на реостате равно нулю, то есть \[I_1 R_1 = I_2 R_3,\] где \(I_1\) и \(I_2\) — токи, текущие через верхнюю и нижнюю ветви цепи соответственно. Поскольку \[I_1 = \frac{U}{R_1+R_2} \quad \text{и} \quad I_2 = \frac{U}{R_3+R_4},\] получаем \[\frac{R_1}{R_1+R_2} = \frac{R_3}{R_3+R_4} \quad \Rightarrow \quad R_1 R_4 = R_2 R_3.\] Отсюда находим сопротивление \(R_4\) и сопротивление \(R\) всей цепи: \[R_4 = \frac{R_2 R_3}{R_1} = 75~\text{Ом}, \qquad R = \frac{(R_1+R_2)^2 R_3}{R_1^2 + R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3} \approx 55{,}6~\text{Ом}.\]