Колечко на стержне и полукольце

Рассмотрите малый интервал времени: за него стержень поворачивается на малый угол, а колечко смещается одновременно по стержню и по полуокружности. Найдите это смещение и сравните с углом поворота стержня.

Рассмотрим положение стержня, когда угол между ним и диаметром \(OA\) равен \(\alpha\), и малый интервал времени \(\Delta t\). Стержень поворачивается на угол \(\Delta\alpha = \omega\,\Delta t\) (штриховая линия на рисунке). Угол между стержнем и полукольцом в этом положении равен \(90^\circ - \alpha\). Угол между стержнем и радиусом \(CK\), проведённым к колечку, равен \(\alpha\) (треугольник \(OCK\) равнобедренный), а полукольцо перпендикулярно радиусу \(CK\). Поэтому смещение \(\Delta x\) колечка, принадлежащее одновременно стержню и полукольцу, равно \[\Delta x = \frac{r\,\Delta\alpha}{\cos\alpha} = \frac{r\,\omega\,\Delta t}{\cos\alpha},\] где \(r\) — расстояние от оси вращения до колечка. Из равнобедренного треугольника \(OCK\) или прямоугольного треугольника \(OAK\) \[r = 2R\cos\alpha ,\] где \(R\) — радиус полукольца. Следовательно, \(\Delta x = 2R\omega\,\Delta t\) не зависит от \(\alpha\). Линейная скорость колечка равна \(2R\omega\), а угловая скорость \[\omega_К = 2\omega .\] Таким образом, угловая скорость колечка не зависит от угла \(\alpha\) и равна удвоенной угловой скорости стержня.