Вращающееся зеркало маяка

Постройте изображение \(S\) в зеркале для двух положений зеркала. Какую траекторию описывает изображение, и с какой угловой скоростью оно вращается по ней?

Построим изображение источника \(S\) в исходном положении зеркала (\(S'\)) и после поворота зеркала на угол \(\alpha\) (\(S''\)).

Треугольники \(SO'O\) и \(SS''S'\) подобны: у них общий угол \(\alpha\), а прилежащие к нему стороны пропорциональны с коэффициентом 2, так как изображение источника находится вдвое дальше от источника, чем зеркало: \[\frac{SS'}{SO} = \frac{SS''}{SO'} = 2 .\] Угол \(SO'O\) прямой (изображение лежит на продолжении перпендикуляра, опущенного из источника на зеркало), поэтому прямым является и угол \(SS''S'\) при любом угле поворота зеркала. Значит, изображение движется по окружности, для которой отрезок \(SS'\) является диаметром. Радиус этой окружности \(R = SO = d\).

Если зеркало повернулось на угол \(\alpha\), то \(OS = OS''\) и \(\angle OSS'' = \angle OS''S = \alpha\), поэтому центральный угол \(\angle S'OS'' = 2\alpha\). Изображение вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega' = 2\omega\). Скорость изображения постоянна и равна \[v = \omega' R = 2\omega d = 1\text{ м/с} .\] Так как изображение движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, его ускорение центростремительное: \[a = \omega'^2 R = 4\omega^2 d = 2\text{ м/с}^2 .\]