Спиральный нагреватель

Сопротивление провода выразите через его длину и площадь сечения. Длину спирали найдите, рассматривая её как набор окружностей с возрастающими радиусами.

Поскольку спираль свёрнута плотно, диаметр проволоки равен \(d = \dfrac{R}{N}\), а площадь её сечения \[S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi R^2}{4N^2} .\] Так как витков очень много, каждый из них мало отличается от окружности. Поэтому спираль состоит из \(N\) окружностей с радиусами \(r_k = k\dfrac{R}{N}\), \(k = 1, \dots, N\), и её длина \[L = 2\pi\sum_{k=1}^{N} r_k = \frac{2\pi R}{N}\,(1 + 2 + \dots + N) = \frac{2\pi R}{N}\cdot\frac{N(N+1)}{2} = \pi R (N+1) \approx \pi R N .\] Сопротивление спирали \[r = \frac{\rho L}{S} = \frac{\rho\pi R N}{S} .\] Выразив площадь сечения через \(R\) и \(N\), получим \(r = \dfrac{4\rho N^3}{R}\). По закону Джоуля — Ленца мощность \[P = \frac{U^2}{r} = \frac{U^2 S}{\pi\rho R N} = \frac{U^2 R}{4\rho N^3} .\]