Колечко на двух шарнирных стержнях

Выразите тангенсы углов наклона стержней через путь колечка от точки \(P\) и расстояния от \(P\) до \(A\) и \(B\). Угловые скорости получите дифференцированием по времени.

Пусть в момент времени, который мы условно выберем за начальный, колечко располагалось в точке \(P\), а потом начало двигаться с постоянной скоростью \(v\) вдоль горизонтальной прямой \(PK\). Тогда \(PK = vt\), и \[\text{tg}\,\alpha = \frac{3vt}{2l}, \qquad \text{tg}\,\beta = \frac{3vt}{l}.\] Угловые скорости стержней найдем, дифференцируя эти формулы по времени и учитывая, что \(\omega_{AM} = \dfrac{d\alpha}{dt}\), \(\omega_{BN} = \dfrac{d\beta}{dt}\). Имеем \[\frac{1}{\cos^2\alpha}\,\frac{d\alpha}{dt} = \frac{3v}{2l}, \qquad \frac{1}{\cos^2\beta}\,\frac{d\beta}{dt} = \frac{3v}{l}.\] Или \[\omega_{AM} = \frac{3v}{2l}\cos^2\alpha, \qquad \omega_{BN} = \frac{3v}{l}\cos^2\beta.\] Эти угловые скорости зависят от времени, поскольку зависят от времени \(\cos^2\alpha\) и \(\cos^2\beta\). Найдем их в тот момент, когда \(AK = l\). Из рисунка видно, что в этот момент времени \[\cos\alpha = \frac{2l/3}{l} = \frac{2}{3}.\] Косинус угла \(\beta\) найти немного сложнее. Опустим перпендикуляр из вершины \(A\) треугольника \(ABK\) на сторону \(BK\). Так как треугольник \(BAK\) в рассматриваемый момент равнобедренный, то \(BE = BK\). Пусть \(BK = x\). Тогда из подобия треугольников \(ABE\) и \(PBK\) имеем \[\frac{PB}{BE} = \frac{BK}{AB} \quad\Rightarrow\quad \frac{l/3}{x} = \frac{x/2}{l} \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{\frac{2}{3}}\,l.\] Отсюда находим \[\cos\beta = \frac{PB}{BK} = \frac{1}{\sqrt6}.\] В результате для угловых скоростей стержней в рассматриваемый момент имеем \[\omega_{AM} = \frac{2v}{3l}, \qquad \omega_{BN} = \frac{v}{2l}.\]

Те же ответы можно получить и без дифференцирования, рассматривая малое перемещение колечка и находя углы поворота стержней.