Три отсека с водой разной температуры

Тепло идет от более горячих отсеков к более холодным, и поток на каждой перегородке записывается через одну и ту же константу. Составьте уравнения теплового баланса для самого горячего, самого холодного и промежуточного отсеков.

Так как площади контактов между всеми отсеками сосуда одинаковы, а перегородки изготовлены из одного и того же материала и имеют одинаковую толщину, для потока тепла \(Q\) от любого более горячего отсека к любому более холодному можно написать \[Q = k\,(t_x - t_y),\] где \(k\) — одинаковый для всех отсеков коэффициент пропорциональности, \(t_x\) и \(t_y\) — температуры более горячей и более холодной воды. Далее, поскольку изменение температур воды во всех отсеках гораздо меньше разности температур воды в отсеках, можно считать, что поток в рассматриваемых процессах практически не изменяется. Поэтому уравнение теплового баланса для остывания воды в горячем отсеке имеет вид \[2cm\,\Delta t = k\,(t_1 - t_2) + k\,(t_1 - t_3),\] где \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(2m\) — масса воды в самом горячем отсеке. Уравнение теплового баланса для нагревания воды в самом холодном отсеке дает \[cm\,\Delta t_x = k\,(t_1 - t_2) + k\,(t_3 - t_2),\] где \(\Delta t_x > 0\) — увеличение температуры воды в отсеке с самой холодной водой. Здесь учтено, что масса воды в отсеке с холодной водой вдвое меньше массы воды в отсеке с горячей водой.

Отсек с водой промежуточной температуры будет получать тепло от отсека с горячей водой и отдавать тепло отсеку с холодной водой. Но поскольку (как это следует из условия) \[t_1 - t_3 > t_3 - t_2,\] то отсек со средней температурой больше получает, чем отдает тепла, и, следовательно, вода в нем нагреется. Поэтому уравнение теплового баланса для нагрева воды в этом отсеке имеет вид \[cm\,\Delta t_{\text{ср}} = k\,(t_1 - t_3) - k\,(t_3 - t_2),\] где \(\Delta t_{\text{ср}} > 0\) — увеличение температуры воды со средней температурой. Выражая коэффициент \(k\) из уравнения для горячего отсека и подставляя его в два других уравнения, получим \[\Delta t_x = \frac{2\,(t_1 + t_3 - 2t_2)}{2t_1 - t_2 - t_3}\,\Delta t = 1{,}6~^\circ\text{C}, \qquad \Delta t_{\text{ср}} = \frac{2\,(t_1 + t_2 - 2t_3)}{2t_1 - t_2 - t_3}\,\Delta t = 0{,}4~^\circ\text{C}.\]