Клин на двух уступах

Силы реакции перпендикулярны граням клина. Найдите точку пересечения их направлений: она лежит на одной вертикали с центром тяжести клина. Для второго способа выразите высоту центра тяжести через угол \(\varphi\) и найдите ее минимум.

Первый способ решения. На клин действуют сила тяжести \(m\vec g\) и две силы реакции \(\vec N_1\) и \(\vec N_2\) со стороны уступов (см. рисунок), при этом силы реакции перпендикулярны соответствующим граням клина, поскольку все грани гладкие. Для клина выполнены два условия равновесия — сумма этих сил и сумма их моментов равны нулю, причем моменты можно вычислять относительно любой точки.

Далее. Момент силы тяжести, действующей на клин, равен нулю относительно любой точки, лежащей на вертикальной прямой, проходящей через центр тяжести клина. А так как силы реакции перпендикулярны упорам, то их суммарный момент равен нулю относительно точки пересечения двух прямых, перпендикулярных граням клина и проходящих через точки касания клина и уступов. Следовательно, точка пересечения этих прямых лежит на одной вертикальной прямой с центром тяжести клина (см. рисунок; центр тяжести клина обозначен жирной точкой).

Поскольку центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, то если из центра тяжести прямоугольного треугольника опустить перпендикуляры на катеты и соединить получившиеся точки, то (1) получится треугольник, подобный прямоугольному треугольнику, (2) длина проведенного отрезка будет равна одной трети длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажем это. Пусть в треугольнике \(ABC\) точка \(O\) является центром тяжести. Опустим из точки \(O\) перпендикуляры \(OM\) и \(ON\) на катеты и соединим их основания отрезком \(MN\). Так как \(BD\) и \(AE\) — медианы, то отрезки \(DC\) и \(BC\) равны половинам соответствующих катетов прямоугольного треугольника, а так как точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2 к 1, считая от вершины, то отрезки \(MC\) и \(NC\) равны двум третьим частям отрезков \(DC\) и \(BC\), т.е. одной третьей части соответствующих катетов. Поэтому треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(MNC\) с коэффициентом подобия 3. Следовательно, отрезок \(MN\) параллелен основанию \(AB\) и \(MN = \tfrac{1}{3}AB\).

Вернемся к равновесию клина. Если опустить из центра тяжести клина перпендикуляры на катеты \(O1'\) и \(O2'\), то отрезок \(1'2'\) должен быть параллелен отрезку \(12\) (из подобия треугольников \(12C\) и \(1'2'C\)). А с другой стороны он должен быть параллелен гипотенузе клина и иметь длину, равную одной трети гипотенузы. А это значит, что в равновесии гипотенуза клина должна располагаться горизонтально, а силы реакции должны проходить через центр тяжести клина. Отсюда следует, что в равновесии \[\varphi = \alpha, \qquad N_1 = mg\sin\alpha, \qquad N_2 = mg\cos\alpha.\]

Второй способ решения. Положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии клина, которую можно найти как \(mgh\), где \(m\) — масса клина, \(h\) — высота расположения центра тяжести клина (показан крестиком на рисунке и обозначен как \(O\)) над некоторым произвольным уровнем. Найдем положение центра тяжести клина над уровнем уступов.

Поскольку угол \(C\) прямой (С — вершина прямого угла клина), то точка \(C\) в любом положении клина находится на окружности с диаметром \(12\), т.е. на окружности радиуса \(l/6\) (где \(l = AB\) — длина гипотенузы клина) с центром в точке \(K\), лежащей посередине между уступами. При этом \(\angle KC2 = \varphi\) (как вертикальный с \(\angle A2Y\)). Поэтому \(\angle 2CX = \varphi\) (как внутренний накрест лежащий с \(\angle K2C\)), и \(\angle KCA = \varphi\), поскольку треугольник \(KC2\) — равнобедренный. Это значит, что \(\angle KCX = 2\varphi\), и вершина клина \(C\) лежит ниже уровня уступов на высоту \[KC\sin 2\varphi = \frac{l}{6}\sin 2\varphi.\]

Далее. Центр тяжести клина лежит в точке пересечения медиан. А поскольку медиана, проведенная из вершины прямого угла, составляет половину гипотенузы, а точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, то центр тяжести клина (точка \(O\)) лежит на расстоянии \(l/3\) от точки \(C\). Так как \(\angle OCX = \alpha + \varphi\) (поскольку \(\angle OCA = \angle OAC\), так как треугольник \(OCA\) равнобедренный), то центр тяжести клина лежит выше уровня вершины \(C\) на высоту \(OC\sin(\alpha+\varphi) = \dfrac{l}{3}\sin(\alpha+\varphi)\). Отсюда следует, что центр тяжести клина лежит выше уровня уступов 1–2 на высоту \[h = \frac{l}{3}\sin(\alpha+\varphi) - \frac{l}{6}\sin 2\varphi.\] Найдем минимум этого выражения как функции угла \(\varphi\). Дифференцируя эту функцию по \(\varphi\) и приравнивая производную к нулю, получим \[\cos(\alpha+\varphi) - \cos 2\varphi = 0.\] Откуда для острого и положительного \(\varphi\) находим \(\varphi = \alpha\). Далее все как в первом способе решения.