Три вольтметра

По показаниям при последовательном соединении найдите соотношение сопротивлений вольтметров. Затем переберите варианты, какой вольтметр мог не изменить показания. Учтите, что не меняться могут только показания параллельно соединенных вольтметров.

При последовательном соединении через вольтметры течет один и тот же ток, а каждый вольтметр показывает напряжение на себе самом. Поэтому напряжение источника равно \[U = U_1 + U_2 + U_3 = 3{,}5~\text{В},\] а сопротивления второго и третьего вольтметров вдвое и вчетверо больше сопротивления первого: \[R_1 = r, \qquad R_2 = 2r, \qquad R_3 = 4r.\]

Соединим теперь два вольтметра параллельно, третий — последовательно первым двум, подключим к источнику и проверим, могут ли показания одного из вольтметров не измениться (при этом не измениться могут только показания параллельно соединенных вольтметров, так как сопротивление цепи и, следовательно, ток через вольтметр, соединенный последовательно с источником, изменились).

Соединим параллельно первый и второй вольтметры, третий — последовательно с ними. Пусть не изменились показания первого вольтметра — \(U_1 = 0{,}5\) В. Тогда второй показывает такое же напряжение \(U_2 = 0{,}5\) В (он соединен с первым параллельно). А поскольку показания первого вольтметра не изменились, через него течет тот же ток, что и в первом случае. Значит, через второй вольтметр течет половинный ток, и, следовательно, ток через третий вольтметр увеличился в \(3/2\) раза по сравнению с первым случаем. Поэтому этот вольтметр будет показывать \(U_3 = 3\) В, и напряжение источника останется таким же, каким оно было в первом случае — \(3{,}5\) В. Значит, такая схема подключения удовлетворяет условию задачи.

Пусть в той же схеме подключения не изменились показания второго вольтметра \(U_2 = 1\) В. Тогда: (1) через него течет тот же ток, что и в первом случае, (2) показания первого вольтметра будут такими же, (3) через него течет вдвое больший ток, чем в первом случае. Отсюда следует, что ток через третий вольтметр увеличится в 3 раза по сравнению с первым случаем. Так же в 3 раза увеличатся его показания — \(U_3 = 6\) В, и сумма напряжений вольтметров не будет равна напряжению источника. Значит, такое соединение не удовлетворяет условию задачи.

Соединим теперь параллельно первый и третий вольтметры, второй — им последовательно. Пусть не изменились показания первого вольтметра — \(U_1 = 0{,}5\) В. Тогда: (1) через него течет тот же ток, что и в первом случае, (2) такими же (0,5 В) будут и показания третьего вольтметра, а ток через третий вольтметр будет вчетверо меньше тока в цепи при последовательном соединении вольтметров. Поэтому ток через второй вольтметр будет составлять \(5/4\) тока в первой цепи, его показания будут равны 1,25 В, и сумма напряжений элементов цепи не будет равна напряжению источника — такое соединение не удовлетворяет условию.

Пусть в этом соединении не изменились показания третьего вольтметра — \(U_3 = 2\) В. Тогда: (1) через него течет тот же ток, что и в первом случае, (2) такими же (2 В) будут и показания первого вольтметра, а ток через первый вольтметр будет вчетверо больше тока в цепи при последовательном соединении вольтметров. Поэтому через второй вольтметр потечет в 5 раз больший ток, чем при последовательном соединении, и напряжение на нем будет 5 В, что не удовлетворяет условию, поскольку сумма напряжений будет больше напряжения источника.

Соединим теперь параллельно второй и третий вольтметры, первый — им последовательно. Пусть не изменились показания второго вольтметра — \(U_2 = 1\) В. Тогда: (1) через него течет тот же ток, что и в первом случае, (2) такими же (1 В) будут и показания третьего вольтметра, а ток через третий вольтметр будет вдвое меньше тока в цепи при последовательном соединении вольтметров. Поэтому ток через первый вольтметр будет составлять \(3/2\) тока в первой цепи, его показания будут равны 0,75 В, и сумма напряжений элементов цепи не будет равна напряжению источника — такое соединение не удовлетворяет условию.

Пусть в этом соединении не изменились показания третьего вольтметра — \(U_3 = 2\) В. Тогда: (1) через него течет тот же ток, что и в первом случае, (2) такими же (2 В) будут и показания второго вольтметра, а ток через второй вольтметр будет вдвое больше тока в цепи при последовательном соединении вольтметров. Поэтому через первый вольтметр потечет в 3 раза больший ток, чем при последовательном соединении, и напряжение на нем будет 1,5 В. И это удовлетворяет условию, поскольку сумма напряжений на элементах цепи равна напряжению источника.

Ответ. Условию удовлетворяют два соединения. (1) Параллельно соединены первый и второй вольтметры, им последовательно третий. Показания первого вольтметра не меняются: \(U_1 = 0{,}5\) В, \(U_2 = 0{,}5\) В, \(U_3 = 3\) В. (2) Параллельно соединены второй и третий вольтметры, им последовательно — первый. Показания третьего вольтметра не меняются: \(U_3 = 2\) В, \(U_2 = 2\) В, \(U_1 = 1{,}5\) В.