Газ между поршнями с пружиной

Работа газа равна площади под графиком зависимости давления от объема. Выясните, как давление зависит от объема, если его создает пружина.

По первому закону термодинамики количество теплоты \(Q\), сообщенное газу, расходуется на увеличение его внутренней энергии и совершение им работы: \[Q = \Delta U + A.\] Изменение внутренней энергии находим через изменение его температуры: \[\Delta U = \frac{3}{2}\,\nu R\,(T_2 - T_1).\] Для нахождения работы газа разобьем перемещение поршня на малые элементы, вычислим элементарную работу газа \(p_i\Delta V_i\) на каждом из них, просуммируем элементарные работы. Эту сумму можно вычислить графически, как площадь под графиком зависимости давления газа от его объема. Поскольку давление газа определяется силой упругости пружины, а последняя линейно зависит от ее удлинения, давление газа в рассматриваемом процессе является линейной функцией объема. Поэтому работа газа равна площади трапеции с основаниями \(p_1\) и \(p_2\) (начальное и конечное давления газа) и высотой \(V_2 - V_1\) (конечный и начальный объем, причем \(V_2 = nV_1\)). Имеем \[A = \frac{p_1 + p_2}{2}\,(V_2 - V_1) = \frac{n-1}{2}\,(p_1V_1 + p_2V_1) = \frac{n-1}{2}\left(p_1V_1 + \frac{p_2V_2}{n}\right).\] Используя далее закон Клапейрона–Менделеева, получим \[A = \frac{n-1}{2n}\,\nu R\,(nT_1 + T_2).\] В результате получаем из первого закона термодинамики для количества теплоты, полученного газом в рассматриваемом процессе: \[Q = \frac{\nu R}{2}\left[3(T_2 - T_1) + \frac{n-1}{n}(nT_1 + T_2)\right] = 8{,}86~\text{кДж}.\]