Сообщающиеся сосуды

Найдите жёсткость пружины по растяжению груза в воздухе. Затем найдите силу, с которой груз и масло давят на большой поршень, и выразите высоту столба воды через давление.

Жёсткость пружины найдём из растяжения груза в воздухе: \(m_г g = k\Delta l_2\), где \(\Delta l_2 = 5\) см, откуда \(k = 2000\) Н/м. Объём груза \(V_г = m_г/\rho_г = 0{,}005\) м\(^3\). На груз, погружённый в масло, действуют сила реакции опоры \(N\), сила Архимеда \(\rho_м g V_г\), сила упругости \(k\Delta l_1\) (с \(\Delta l_1 = 2\) см) и сила тяжести: \[N = m_г g - k\Delta l_1 - \rho_м g V_г = 100~\text{Н}\,(1 - 0{,}4 - 0{,}4) = 20~\text{Н}.\] Сила, с которой груз и масло давят на большой поршень: \[P_1 = N + \rho_м g (V_м + V_г) = 20~\text{Н} + 800\cdot 10\cdot(0{,}006 + 0{,}005)~\text{Н} = 108~\text{Н}.\] Так как вода несжимаема, \(S_1 h_1 = S_2 h_2\), где \(h_1\) и \(h_2\) — смещения поршней. Отсюда \(h_2 = 4h_1 = 4h\), а разность уровней поршней \(H = h_1 + h_2 = 5h\). Давление на большой поршень уравновешивает столб воды высотой \(H\): \(\rho_в g \cdot 5h = P_1/S_1\), где \(S_1 = 4S_2 = 540\) см\(^2\). Отсюда \[h = \frac{P_1}{\rho_в g \cdot 5 S_1} = \frac{108}{1000 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0{,}054}~\text{м} = 0{,}04~\text{м} = 4~\text{см}.\] Малый поршень поднимется на \(h_2 = 4h = 16\) см.