Прожектор и автомобиль

Освещённое пятно движется по трассе со скоростью \(L/t_1\). Относительно автомобиля пятно за время \(t_2\) проходит полный круг длиной \(L\). Рассмотрите, как направлены скорости пятна и автомобиля, и запишите соответствующие уравнения.

Пусть скорость автомобиля \(v\), а освещённое пятно движется вдоль трассы со скоростью \(u = L/t_1\). Относительная скорость пятна и автомобиля может равняться одному из выражений: \(u + v\) (движутся навстречу), \(u - v\) (след обгоняет автомобиль) или \(v - u\) (автомобиль обгоняет след). За время \(t_2\) пятно относительно автомобиля проходит полный круг длиной \(L\), поэтому \(v_{\text{отн}} = L/t_2\). Получаем три уравнения: \[\frac{L}{t_2} = \frac{L}{t_1} + v, \qquad \frac{L}{t_2} = \frac{L}{t_1} - v, \qquad \frac{L}{t_2} = v - \frac{L}{t_1}.\] Первое уравнение даёт отрицательную скорость, поэтому эта ситуация невозможна. Второе даёт \(v = 1{,}5\) км/мин \(= 90\) км/ч, третье — \(v = 7{,}5\) км/мин \(= 450\) км/ч.