Грузы и пластилиновая шайба

Рассмотрим движение грузов до момента их столкновения с шайбой из пластилина. Пусть \(T\) — сила натяжения нити, \(a_0\) — направленное вниз ускорение груза \(m_2\). В силу нерастяжимости нити это ускорение равно по величине и противоположно по направлению ускорению груза \(m_1\). Запишем уравнения движения для грузов \(m_1\) и \(m_2\) в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: \[m_2a_0 = m_2g - T,\quad -m_1a_0 = m_1g - T.\] Вычитая эти уравнения друг из друга, получаем: \(a_0 = \dfrac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}g\).

Аналогичным образом можно найти, что после прилипания пластилина к грузу \(m_1\) его ускорение направлено вниз и равно \(a = \dfrac{m_1 + m_3 - m_2}{m_1 + m_3 + m_2}g\). Этот результат можно получить и без записи уравнений движения: достаточно в найденном выше выражении для \(a_0\) заменить массу \(m_1\) на суммарную массу \(m_1 + m_3\) и учесть, что после прилипания пластилина ускорение груза \(m_1\) будет положительным (так как \(m_3 > m_2 - m_1\)).

Пусть скорость грузов до соударения с шайбой из пластилина была равна по величине \(v_0\). Так как нить нерастяжимая и блок невесомый, то при неупругом столкновении груза \(m_1\) с пластилином возникнет кратковременное увеличение силы натяжения нити — рывок, после которого скорости всех трёх тел станут одинаковыми по модулю и равными некоторой величине \(v\). Грузы \(m_1\) и \(m_2\), жёстко связанные нерастяжимой нитью, при столкновении с неподвижной пластилиновой шайбой ведут себя, как одно тело с массой \(m_1 + m_2\), движущееся со скоростью \(v_0\). При этом проекция импульса системы на направление нити, очевидно, сохраняется: \((m_1 + m_2)v_0 = (m_1 + m_2 + m_3)v\). Следовательно, после прилипания пластилина к грузу массой \(m_1\) получившееся тело массой \(m_1 + m_3\) будет двигаться вверх с начальной скоростью \(v\), причём равнозамедленно.

Скорости \(v_0\) и \(v\) связаны с расстояниями \(h_0\) и \(h\) следующими кинематическими соотношениями: \[v_0 = \sqrt{2a_0h_0} = \sqrt{2gh_0}\sqrt{\dfrac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}},\quad v = \sqrt{2ah} = \sqrt{2gh}\sqrt{\dfrac{m_1 + m_3 - m_2}{m_1 + m_3 + m_2}}.\] Учитывая записанное выше уравнение, связывающее скорости \(v_0\) и \(v\), получаем: \[(m_1 + m_2)\sqrt{2gh_0}\sqrt{\dfrac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}} = (m_1 + m_2 + m_3)\sqrt{2gh}\sqrt{\dfrac{m_1 + m_3 - m_2}{m_1 + m_3 + m_2}},\] откуда \[h = h_0\dfrac{m_2^2 - m_1^2}{(m_1 + m_3)^2 - m_2^2}.\]