Лёд и вода: три случая

Обозначим через \(m_{\text{л}}\) начальную массу льда в сосуде. Рассмотрим возможные значения установившейся в системе температуры \(t\).

а) Пусть \(t > 0\ {}^\circ\)C. Тогда масса воды \(m_{\text{в}}\) отдала количество теплоты \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t_{\text{в}} - t)\), а масса льда \(m_{\text{л}}\) получила количество теплоты \(c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}|\) на этапе нагревания до \(0\ {}^\circ\)C, затем \(\lambda m_{\text{л}}\) при плавлении и \(c_{\text{в}}m_{\text{л}}t\) при нагревании образовавшейся воды до установившейся температуры. Поскольку теплоёмкостью сосуда и потерями тепла можно пренебречь, то из уравнения теплового баланса получаем: \[c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t_{\text{в}} - t) = c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda m_{\text{л}} + c_{\text{в}}m_{\text{л}}t.\] Определяемая из данного соотношения конечная температура \(t\) положительна, если \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}} > c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda m_{\text{л}}\). Таким образом, масса льда \(m_{\text{л}}\) лежит в интервале \(0 \leqslant m_{\text{л}} < \dfrac{c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}}}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda}\). Конечный объём содержимого сосуда связан с массой льда соотношением \(V = (m_{\text{в}} + m_{\text{л}})/\rho_{\text{в}}\); отсюда \[\dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}} \leqslant V < \dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}}\left(1 + \dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}}}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda}\right),\] подстановка числовых данных даёт \(0{,}4\text{ л} \leqslant V < 0{,}67\text{ л}\).

б) Пусть \(t < 0\ {}^\circ\)C. Тогда масса воды \(m_{\text{в}}\) отдала количество теплоты \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}}\) при охлаждении до \(0\ {}^\circ\)C, затем \(\lambda m_{\text{в}}\) при замерзании, и \(c_{\text{л}}m_{\text{в}}(0 - t)\) при охлаждении образовавшегося льда до конечной температуры, а лёд получил количество теплоты \(c_{\text{л}}m_{\text{л}}(t - t_{\text{л}})\). Из уравнения теплового баланса получаем: \[c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}} + \lambda m_{\text{в}} - c_{\text{л}}m_{\text{в}}t = c_{\text{л}}m_{\text{л}}(t - t_{\text{л}}).\] Определённая из этой формулы установившаяся температура отрицательна, если \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}} + \lambda m_{\text{в}} < -c_{\text{л}}m_{\text{л}}t_{\text{л}}\); при этом начальная масса льда превосходит критическое значение \(m_{\text{л}} > \dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}} + \lambda}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}|}m_{\text{в}}\). Конечный объём системы \(V = (m_{\text{в}} + m_{\text{л}})/\rho_{\text{л}}\) должен удовлетворять неравенству \[V > \dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{л}}}\left(1 + \dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}} + \lambda}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}|}\right),\] подстановка числовых данных даёт \(V > 6{,}7\) л.

в) Из проведённого выше рассмотрения следует, что конечная температура системы равна \(0\ {}^\circ\)C, если начальная масса льда удовлетворяет неравенству \[\dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}}}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda}m_{\text{в}} \leqslant m_{\text{л}} \leqslant \dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}} + \lambda}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}|}m_{\text{в}}.\] В процессе установления равновесия вода отдала количество теплоты \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}}\), лёд получил количество теплоты \(c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}|\); следовательно, количество теплоты \(c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}} - c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}|\) пошло либо на плавление массы льда \(\Delta m = \dfrac{c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}} - c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}|}{\lambda}\) (если \(\Delta m > 0\)), либо на кристаллизацию массы воды \(-\Delta m\) при \(\Delta m < 0\). При этом объём системы изменяется на величину \(-\Delta m\left(\dfrac{1}{\rho_{\text{л}}} - \dfrac{1}{\rho_{\text{в}}}\right)\) и оказывается равным \[\begin{aligned} V &= \dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}} + \dfrac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}} - \Delta m\left(\dfrac{1}{\rho_{\text{л}}} - \dfrac{1}{\rho_{\text{в}}}\right) =\\ &= \dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}} + \dfrac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}} - \dfrac{c_{\text{в}}m_{\text{в}}t_{\text{в}} - c_{\text{л}}m_{\text{л}}|t_{\text{л}}|}{\lambda}\left(\dfrac{1}{\rho_{\text{л}}} - \dfrac{1}{\rho_{\text{в}}}\right). \end{aligned}\] Учитывая неравенство для начальной массы льда, приходим к соотношению: \[\dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}}\left(1 + \dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}}}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}| + \lambda}\right) \leqslant V \leqslant \dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_{\text{л}}}\left(1 + \dfrac{c_{\text{в}}t_{\text{в}} + \lambda}{c_{\text{л}}|t_{\text{л}}|}\right).\] Подстановка числовых данных даёт \(0{,}67\text{ л} \leqslant V \leqslant 6{,}7\text{ л}\).