Планетарная передача

Пусть \(R\) — радиус солнечной шестерни, совпадающий с радиусом каждой из планетарных шестерён, \(\omega_{\text{п}}\) — угловая скорость каждой из планетарных шестерён, \(\omega_{\text{в}}\) — угловая скорость водила, \(\omega_{\text{к}}\) — угловая скорость кольцевой шестерни. В качестве положительного направления вращения примем направление по часовой стрелке; при вращении в этом направлении будем считать угловую скорость положительной, а при вращении в противоположном направлении — отрицательной.

Если водило зафиксировано, то из условия равенства линейных скоростей соприкасающихся точек солнечной и планетарной шестерён находим, что \(\omega_{\text{п}} = -\omega\). Линейные скорости соприкасающихся друг с другом точек планетарных и кольцевой шестерён равны \(v_{\text{п}} = \omega_{\text{п}}R\) и \(v_{\text{к}} = \omega_{\text{к}}\cdot 3R\) соответственно. Так как между кольцевой и планетарными шестернями имеется зацепление, то \(v_{\text{п}} = v_{\text{к}}\), откуда \(\omega_{\text{к}} = \omega_{\text{п}}/3 = -\omega/3\). Следовательно, кольцевая шестерня вращается в направлении, противоположном направлению вращения солнечной шестерни, с угловой скоростью, равной по величине \(\omega/3\).

Пусть теперь зафиксирована кольцевая шестерня. Так как точка соприкосновения планетарной и кольцевой шестерён неподвижна, то она является мгновенной осью вращения планетарной шестерни. Центр планетарной шестерни, находящийся на водиле на расстоянии \(2R\) от центра солнечной шестерни, движется со скоростью \(\omega_{\text{в}}\cdot 2R = -\omega_{\text{п}}R\), а точка соприкосновения планетарной шестерни с солнечной, вдвое более удалённая от мгновенной оси вращения — с вдвое большей скоростью, равной \(4\omega_{\text{в}}R = -2\omega_{\text{п}}R\). С такой же линейной скоростью движутся точки обода солнечной шестерни. Следовательно, \(\omega R = 4\omega_{\text{в}}R = -2\omega_{\text{п}}R\), откуда \(\omega_{\text{в}} = \omega/4\), а \(\omega_{\text{п}} = -\omega/2\). Таким образом, в данном случае водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня, с угловой скоростью, равной \(\omega/4\). Планетарная шестерня при этом вращается в направлении, противоположном направлению вращения солнечной шестерни, с угловой скоростью, равной по величине \(\omega/2\).