Грузы на вращающемся шкиве

Отношение сил натяжения верёвки на свободных участках остаётся неизменным, пока верёвка проскальзывает по шкиву. Это утверждение можно доказать, проведя такой мысленный эксперимент: перекинем через шкив вторую верёвку с такими же грузами, и для неё отношение сил натяжения будет тем же самым. Мысленно совмещая соответствующие грузы и две верёвки, получим систему с вдвое большими грузами, вдвое большими силами натяжения и прежним отношением этих сил. Ясно, что пропорционально уменьшая и увеличивая массы грузов, можно получить любую величину силы \(T_1\) на одном из свободных участков верёвки, и её отношение к силе натяжения \(T_2\) на другом участке останется прежним. Обозначим это отношение символом \(y\). (Заметим, что по формуле Эйлера \(y = e^{\mu\pi}\), где \(\mu\) — коэффициент трения верёвки о шкив, но это для решения задачи знать не обязательно!) Составим динамические уравнения движения грузов: \[\begin{cases} T_1 = yT_2, \\ M_1a_1 = T_1 - M_1g, \\ M_2a_1 = M_2g - T_2, \end{cases}\qquad \begin{cases} T_2' = yT_1', \\ M_1a_2 = M_1g - T_1', \\ M_2a_2 = T_2' - M_2g. \end{cases}\] Исключая из уравнений силы натяжения, получаем: \[a_1 = \dfrac{M_2y - M_1}{M_2y + M_1}g;\quad a_2 = \dfrac{M_1y - M_2}{M_1y + M_2}g,\quad\text{где}\quad a_1 < g,\ a_2 < g.\] Обозначим искомое отношение масс грузов \(M_1/M_2\) символом \(x\) и преобразуем последние уравнения: \[\dfrac{a_1}{g} = \dfrac{y - x}{y + x};\quad \dfrac{a_2}{g} = \dfrac{yx - 1}{yx + 1}.\] Решая совместно эти уравнения, найдём искомое отношение масс грузов: \[x = \dfrac{M_1}{M_2} = \sqrt{\dfrac{(1 - (a_1/g))(1 + (a_2/g))}{(1 + (a_1/g))(1 - (a_2/g))}}.\]