Кордовая модель самолёта

Изобразим на рисунке 1.95 вид сверху на систему, описанную в условии задачи. Так как модель самолёта (точка \(A\) на рисунке) движется по окружности радиусом \(R\) со скоростью \(v\), она имеет центростремительное ускорение \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\), создаваемое нормальной составляющей силы натяжения кордов \(T_n = ma_n = \dfrac{mv^2}{R}\). Тангенциальная составляющая силы натяжения частично компенсирует силу сопротивления движению самолёта и связана с нормальной составляющей соотношением \(T_\tau = T_n\operatorname{tg}\alpha\), где \(\alpha = \angle DAO\) — угол между радиусом \(OA\) окружности, по которой движется самолёт, и проекцией \(DA\) кордов \(AB\) на плоскость этой окружности (точка \(B\) находится на рисунке под точкой \(D\)).

Треугольник \(ABD\) — прямоугольный, поэтому \(AD = \sqrt{L^2 - h^2}\). На основании теоремы косинусов длины сторон треугольника \(ADO\) должны удовлетворять соотношению: \[r^2 = R^2 + L^2 - h^2 - 2R\sqrt{L^2 - h^2}\cos\alpha,\] откуда \(\cos\alpha = \dfrac{R^2 + L^2 - r^2 - h^2}{2R\sqrt{L^2 - h^2}}\).

Из этих формул следует, что горизонтальная составляющая силы натяжения кордов \[T_{\text{г}} = \sqrt{T_n^2 + T_\tau^2} = 2mv^2\dfrac{\sqrt{L^2 - h^2}}{R^2 + L^2 - r^2 - h^2}.\] Поскольку в вертикальном направлении самолёт не имеет ускорения (так как по условию он движется в горизонтальной плоскости), то проекция суммы всех действующих на самолёт сил, — силы тяжести \(mg\), силы натяжения кордов \(T\) и силы со стороны воздуха, — на вертикальное направление должна быть равна нулю. Силу, действующую на самолёт со стороны воздуха, можно разложить на две составляющие: горизонтальную, равную сумме силы сопротивления и силы тяги, направленную горизонтально по касательной к траектории, и вертикальную — подъёмную силу \(F\): \[mg + T_{\text{в}} - F = 0,\] где \(T_{\text{в}}\) — модуль вертикальной составляющей силы натяжения кордов, \(F\) — модуль искомой подъёмной силы, \(T_{\text{в}} = T_{\text{г}}\operatorname{tg}\beta\), где \(\beta = \angle BAD\) — угол между кордами \(AB\) и горизонтом, причём \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{h}{\sqrt{L^2 - h^2}}\).

В результате получаем, что подъёмная сила равна: \[F = m\left(g + \dfrac{2v^2h}{R^2 + L^2 - r^2 - h^2}\right).\]