Расстояние до горизонта

Луч зрения до горизонта касается поверхности Земли. Какой прямоугольный треугольник образуют радиус Земли, касательная и расстояние от центра Земли до наблюдателя?

Построение хода лучей, идущих от горизонта к наблюдателю, выполнено на рисунке.

Из рисунка находим, что расстояние \(x\) от наблюдателя до горизонта определяется следующим образом по теореме Пифагора: \[x = \sqrt{(R + h)^2 - R^2} = \sqrt{R^2 + 2Rh + h^2 - R^2} \approx \sqrt{2Rh},\] где \(h\) — высота наблюдателя над уровнем моря (здесь мы пренебрегли малым слагаемым \(h^2\) по сравнению с величиной \(2Rh\)). Таким образом, расстояние до видимого горизонта пропорционально квадратному корню из высоты, на которой находится наблюдатель над уровнем моря. Для высоты \(h = 10\) метров (высота палубы барка «Крузенштерн» плюс рост человека) это расстояние равно \[x = \sqrt{2Rh} \approx 11{,}3\ \text{км}.\]