Два ползуна на стержне

Стержень нерастяжим, значит, проекции скоростей его концов на него равны. Как из этого связать ускорения ползунов в первый момент?

Силы, действующие на ползуны, показаны на рисунке.

Это силы тяжести \(m\vec g\) и \(2m\vec g\), силы реакции направляющих \(\vec N_A\) и \(\vec N_B\), направленные перпендикулярно направляющим, поскольку они гладкие, и силы \(\vec T_A\) и \(\vec T_B\) со стороны стержня, которые могут быть направлены только вдоль стержня (так как стержень не имеет массы). Поэтому второй закон Ньютона для ползунов даёт \[m\vec a_A = m\vec g + \vec N_A + \vec T_A, \qquad 2m\vec a_B = 2m\vec g + \vec N_B + \vec T_B,\] или в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси \[m a_A = mg - T\sin\alpha, \qquad 2m a_B = T\cos\alpha.\] Здесь учтено, что модули сил натяжения стержня, действующих на ползуны, одинаковы. Найдём связь ускорений ползунов. Поскольку стержень нерастяжим, проекции скоростей концов на стержень равны друг другу. Поэтому \[v_A\sin\alpha = v_B\cos\alpha.\] Таким образом, в любой момент времени скорости концов связаны соотношением \[v_B = v_A\tan\alpha.\] А значит, такой же является и связь ускорений в самый первый момент времени после отпускания ползунов: \[a_B = a_A\tan\alpha.\] Решая систему уравнений, получим \[a_A = \frac{g\cos^2\alpha}{1 + \sin^2\alpha}, \qquad a_B = \frac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1 + \sin^2\alpha}.\]