Четыре сосуда с маслом

С точки зрения давления у дна слой масла толщиной \(h\) эквивалентен слою воды толщиной \(\rho_0 h/\rho_1\). Сравнивайте давления у дна сосудов с давлением, которое дала бы та же вода, распределённая по всем сосудам.

С точки зрения давления в жидкости наливание в сосуд слоя масла толщиной \(h\) эквивалентно наливанию слоя воды толщиной \(\dfrac{\rho_0 h}{\rho_1}\). Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной \(6h\) (в первый, второй и третий сосуды) эквивалентно тому, что мы нальём слой воды толщиной \[h_1 = \frac{6\rho_0 h}{\rho_1}.\] Но если бы мы налили такое количество воды, она распределилась бы равномерно по четырём сосудам. Учитывая, что в четвёртом сосуде будет только вода (по условию масло полностью воду ни из одного сосуда не вытесняет и, следовательно, не может попасть в четвёртый сосуд), уровень воды в нём поднимется на величину \[\Delta h_4 = \frac{6\rho_0 h}{4\rho_1} = \frac{3\rho_0 h}{2\rho_1}.\] При этом давление у дна сосуда возрастёт на величину \[\Delta p = \rho_1 g \Delta h_4 = \frac{3}{2}\rho_0 g h. \qquad (*)\] Изменение уровня жидкости в первом, втором и третьем сосудах найдём из условия увеличения давления в этих сосудах на эту величину.

В первом сосуде находится слой масла толщиной \(h\), который обеспечивает дополнительное давление \(\rho_0 g h\). Поэтому для увеличения давления на \(\frac{3}{2}\rho_0 g h\) в этот сосуд должна войти дополнительная вода, дающая давление у дна \(\frac{1}{2}\rho_0 g h\), т.е. слой воды толщиной \(\frac{1}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Это значит, что уровень жидкости в первом сосуде увеличится на величину \[\Delta h_1 = h + \frac{\rho_0}{2\rho_1}h = h\left(1 + \frac{\rho_0}{2\rho_1}\right).\] Во втором сосуде появится дополнительный слой масла толщиной \(2h\), который обеспечивает дополнительное давление \(2\rho_0 g h\). Поэтому, чтобы давление у дна второго сосуда возросло на величину \(\Delta p\) \((*)\), из второго сосуда должна уйти вода толщиной \(\frac{1}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды во втором сосуде изменится на величину \[\Delta h_2 = 2h - \frac{\rho_0}{2\rho_1}h = 2h\left(1 - \frac{\rho_0}{4\rho_1}\right).\] В третьем сосуде появится дополнительный слой масла толщиной \(3h\), который обеспечивает дополнительное давление \(3\rho_0 g h\). Поэтому, чтобы давление у дна третьего сосуда возросло на величину \(\Delta p\) \((*)\), из третьего сосуда должна уйти вода толщиной \(\frac{3}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды в третьем сосуде изменится на величину \[\Delta h_3 = 3h - \frac{3\rho_0}{2\rho_1}h = 3h\left(1 - \frac{\rho_0}{2\rho_1}\right).\] Проверка: сумма изменений уровней должна равняться объёму налитого масла, \(6h\).

\[\Delta h_1 + \Delta h_2 + \Delta h_3 + \Delta h_4 = 6h.\]