Куб с блоками и грузами

Куб покоится, поэтому сумма внешних горизонтальных сил на него равна нулю. Найдите силы натяжения нитей из динамики тел, учитывая, что все тела движутся с одинаковым ускорением.

Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют: сила тяжести \(M\vec g\) (\(M\) — масса куба), верхнее тело с силой \(\vec N_1\), сила реакции опоры \(\vec N\), сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, так как верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила \(\vec F\), удерживающая куб в покое (направленная, очевидно, влево), и нити, перекинутые через блоки. Нити действуют на куб через блоки, причём каждая нить оказывает воздействие в горизонтальном (\(\vec T'_1\) и \(\vec T'_2\)) и вертикальном (\(\vec T_1\) и \(\vec T_2\)) направлениях (см. рисунок). Поэтому условие равновесия куба даёт \[F = T_2 - T_1 - F_{\text{тр}}, \qquad (1)\] где \(T_1\) и \(T_2\) — силы натяжения левой (связанной с меньшим грузом) и правой нитей соответственно, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения. Таким образом, чтобы найти силу \(F\), надо найти силы натяжения нитей и силу трения.

Рассмотрим задачу динамики для трёх тел, скреплённых нитями, при нулевом ускорении куба. На меньшее тело действуют сила тяжести и сила натяжения левой нити. На верхнее тело: сила тяжести, сила реакции куба, сила трения, силы натяжения левой и правой нитей. На большее тело: сила тяжести и сила натяжения правой нити. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления движения каждого тела имеет вид \[\begin{aligned} ma &= T_1 - mg,\\ 4ma &= T_2 - T_1 - 4kmg,\\ 2ma &= 2mg - T_2, \end{aligned} \qquad (2)\] здесь использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей. Решая систему уравнений \((2)\), находим \[a = \frac{g(1 - 4k)}{7}.\] Теперь из формулы \((1)\) и второго уравнения системы \((2)\) находим силу \[F = 4ma = \frac{4mg(1 - 4k)}{7}.\] При \(k > 1/4\) тела не будут двигаться по кубу, поэтому и куб будет стоять, \(F = 0\). Таким образом, \[F = \frac{4mg(1 - 4k)}{7} \ \text{при } k < 0{,}25; \qquad F = 0 \ \text{при } k > 0{,}25.\]