Цикл в координатах давление-плотность

Плотность обратно пропорциональна объёму при постоянной массе. Найдите \(a\) и \(b\) по состояниям 1 и 2, затем перейдите к переменной \(V\). Работа за цикл равна площади треугольника в координатах \((P,V)\).

1. В состояниях 1 и 2: \(3P_0 = a + \dfrac{b}{\rho_0}\), \(P_0 = a + \dfrac{b}{2\rho_0}\), отсюда \(a = -P_0\), \(b = 4P_0\rho_0\). Тогда в процессе 1-2 \[P = -P_0 + \frac{4P_0\rho_0}{\rho} = P_0\left(4\frac{V}{V_0} - 1\right).\] Цикл в координатах \((P,V)\) — см. рис.

2. Работа за цикл равна площади треугольника с вершинами \((V_0/2;\,P_0)\), \((V_0/2;\,3P_0)\), \((V_0;\,3P_0)\): \(A = \dfrac12\,P_0V_0\). Максимальная внутренняя энергия газа достигается в состоянии 1: \(U_{MAX} = \dfrac32\cdot 3P_0V_0 = \dfrac92 P_0V_0\). Искомая работа \[A = \frac{U_{MAX}}{9} = 554~\text{Дж}.\]

3. Молярная теплоёмкость в процессе \(C = \dfrac32 R + P\dfrac{\Delta V}{\Delta T}\). С учётом уравнения состояния \(PV = RT\) и следствия из него \(\dfrac{\Delta P}{P} + \dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\Delta T}{T}\) формула для теплоёмкости принимает вид \[C = \frac32 R + \frac{R}{1 + \dfrac{V}{P}\,\dfrac{\Delta P}{\Delta V}}.\] В процессе сжатия \(\dfrac{\Delta P}{\Delta V} = 4\dfrac{P_0}{V_0}\), в начале процесса сжатия \(\dfrac{V}{P} = \dfrac{V_0}{3P_0}\), тогда \[C = \frac32 R + \frac{3R}{7} = \frac{27}{14}R,\] \[|\Delta Q| = C\,|\Delta T| = \frac{27}{14}\,R\,|\Delta T| \approx 16~\text{Дж}.\]