Мяч против ветра с линейным сопротивлением

Перепишите уравнение движения так, чтобы сила от ветра стала частью постоянной силы, а оставшееся сопротивление было пропорционально скорости мяча в неподвижной системе. Затем просуммируйте уравнение по времени полёта.

1. \(V_{0X} = \dfrac{S}{\tau} = 20~\text{м/с}\), \(V_{0Y} = \dfrac{g\tau}{2} = 15~\text{м/с}\), поэтому \[\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{V_{0Y}}{V_{0X}} = \frac{g\tau^2}{2S} = 0{,}75, \qquad \sin\alpha = 0{,}6.\]

2. \(V_0 = \sqrt{V_{0X}^2 + V_{0Y}^2} = 25~\text{м/с}\).

3. Пусть \(\vec V\) — скорость мяча в лабораторной системе, \(\vec U\) — скорость воздушного потока. Тогда \(\vec F_{СОПР} = -k(\vec V - \vec U)\) и \[m\frac{\Delta\vec V}{\Delta t} = m\vec g - k(\vec V - \vec U) = \vec F - k\vec V, \qquad \vec F = m\vec g + k\vec U.\] Сила \(\vec F\) постоянна. Возвращение мяча в точку старта возможно, когда \(\vec V_0\) и \(\vec F\) антипараллельны, тогда \(F = \dfrac{mg}{\sin\alpha}\).

Просуммируем уравнение по времени полёта. Перемещение за полёт нулевое, \(\sum\vec V\,\Delta t = 0\), поэтому \(m\vec V_1 - m\vec V_0 = \vec F\,T\). Проецируя на направление \(\vec V_0\), получаем \(-mV_1 - mV_0 = -\dfrac{mg}{\sin\alpha}T\), откуда \[T = \frac{(V_0 + V_1)\sin\alpha}{g} = 1{,}6\,\frac{V_0}{g}\sin\alpha = 2{,}4~\text{с}.\]