Забивание гвоздей

IEPhO 2016/17, 9 кл.

5/10

В этой задаче не нужно оценивать погрешности!

Закрепите трубку анкерного болта в лапке штатива, при этом болт должен свободно проходить через трубку. Ниже прикрепите кусок пластилина со вставленным в него гвоздем. При отпускании болта он должен ударять по шляпке гвоздя. Постоянно регулируйте положение трубки, чтобы высота удара оставалась приблизительно постоянной.

Часть A. Теоретическая

Можно считать, что при движении гвоздя в пластилине на него действуют две силы: постоянная сила \(F_{0}\), действующая на острие гвоздя, и сила трения, действующая на его боковую поверхность. Эта сила пропорциональна глубине погружения гвоздя \(h\):\[F_{тр}=f h\]

A1. Постройте схематический график зависимости суммарной силы сопротивления, действующей на гвоздь от глубины его погружения \(h\).

A2. Считайте, что при каждом ударе болт сообщает гвоздю одну и ту же энергию \(E_0\). Получите зависимость числа ударов \(n(h)\), которое потребуется, чтобы забить гвоздь на глубину \(h\), при условии, что начальная глубина погружения равна \(h_0\).

Часть B. Практическая

Сначала проведите измерения с гвоздем меньшего диаметра. Вдавите гвоздь в пластилин на глубину \(h_0=5.0~мм\). В этом эксперименте высота удара должна равняться \(L=2.0~см\).

B1. Измерьте зависимость числа ударов \(n\) от глубины \(h\), на которую потребуется забить гвоздь. Постройте график полученной зависимости.

B2. Постройте график полученной зависимости в таких координатах, чтобы получить линейную зависимость. (возможно, что эта зависимость не будет линейной во всем диапазоне – в этом случае выберите ее линейный участок). Найдите значения параметров этой зависимости.

B3. Определите отношение силы, действующей на острие, к силе трения, действующей на \(1~см\) боковой поверхности.

Проведите аналогичные измерения и расчеты для гвоздя большего диаметра. В этом случае высота удара должна быть \(L=4.0~см\).

Оборудование

Анкерный болт с трубкой
Штатив
Линейка
Кусок пластилина
Маленький и большой гвозди

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

A2: \[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right)\]; B3: \[\frac{F_{0}}{f h} \simeq 0.35\]

Решение

A1. Схематичный график показан на рисунке.

Ответ:

A2. Энергия, необходимая для забивания гвоздя численно равна площади под графиком, поэтому:

\[E_{0} n=\frac{\left(F_{0}+f h_{0}\right)+\left(F_{0}+f h\right)}{2}\left(h-h_{0}\right)= \left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right) \qquad(1)\]От сюда следует необходимая зависимость:\[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right) \qquad(2)\]

Ответ:

\[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right)\]

B1. Зависимость числа ударов от глубины погружения для гвоздя меньшего диаметра приведена в таблице и на графике

\(h,~см\)	\(N,~шт\)	\(h+h_0,~см\)	\(\dfrac{n}{\left(h-h_0\right)}\)
1.0	11	1.5	22.00
1.5	27	2.0	27.00
2.0	49	2.5	32.67
2.5	75	3.0	37.50
3.0	105	3.5	42.00
3.5	149	4.0	49.67
4.0	211	4.5	60.29
4.5	301	5.0	75.25

В соответствии с формулой \((2)\) данная зависимость квадратичная.

Ответ:

График зависимости количества ударов от глубины погружения \(h\)

B2. Для линеаризации зависимости можно проделать следующие преобразовании, которые следуют из формулы \((2)\):

\[\frac{n}{\left(h-h_{0}\right)}=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right) \qquad(3)\]Построим график зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\):

Ответ:

График зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\)

Полученная зависимость близка к линейной \(y=k x+b\).

B3. Из вида зависимости \((3)\) следует, что отношение силы, действующей на острие, к силе трения, действующей на \(1~см\) боковой поверхности, определяется формулой:\[\frac{F_{0}}{f h}=\frac{b}{2 k}=\frac{6.98}{2 \cdot 10.1} \simeq 0.35 \qquad(4)\]

Ответ:

\[\frac{F_{0}}{f h} \simeq 0.35\]

Для более толстого гвоздя измерения и обработка проводятся аналогично.

\(h,~см\)	\(N,~шт\)	\(h+h_0,~см\)	\(\dfrac{n}{\left(h-h_0\right)}\)
1.0	21	1.5	42.00
1.5	44	2.0	44.00
2.0	73	2.5	48.67
2.5	95.3	3.0	47.50
3.0	121	3.5	48.40
3.5	155	4.0	51.67
4.0	197	4.5	56.29
4.5	245	5.0	61.25
5.0	296	5.5	65.78
5.5	357	6.0	71.40
6.0	437	6.5	79.45

Для большого гвоздя:

График зависимости количества ударов от глубины погружения \(h\)

Линеаризация:

График зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\)

Отношение сил оказалось:\[\frac{F_{0}}{f h}=\frac{b}{2 k}=\frac{13.0}{2 \cdot 10.7} \simeq 0.35 \qquad(5)\]

Ответ:

\[\frac{F_{0}}{f h}\simeq 0.35\]

Источник: pho.rs/p/4094.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Забивание гвоздей

Забивание гвоздей

Похожие задачи