Задачи › Уравнение Бернулли, истечение жидкости

Бочка с отверстием и грядка

  1. Бочка с отверстием и грядка

    СПбГУ 2021/22, 9 кл.
    6/10

    Клава придумала следующую систему автоматического полива. На её участке у самого края грядки на постаменте стоит бочка для воды. Клава решила просверлить в стенке бочки маленькое отверстие и снабдить его пробкой. По задумке, она будет наполнять бочку водой доверху, а затем открывать отверстие, и струйка воды из него будет литься на грядку. Какова наибольшая длина грядки, которую можно целиком полить таким способом? На каком расстоянии от дна бочки для этого нужно проделать отверстие? Высота постамента \(a\), высота бочки \(b>a\). Считайте воду идеальной несжимаемой жидкостью, её течение ламинарным, а диаметр отверстия много меньше диаметра бочки. Струя воды из бочки вылетает горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Примечание. Ламинарным называется течение жидкости, при котором её слои не перемешиваются. Траектории движения малых элементов жидкости не пересекаются и называются линиями тока. Идеальной называется жидкость с нулевой вязкостью, т.е. при течении между её слоями не возникает трения. Для установившегося ламинарного течения идеальной несжимаемой жидкости справедлив закон Бернулли: вдоль линии тока сумма давления и объёмных плотностей кинетической и потенциальной энергии жидкости остаётся постоянной: \(p+\dfrac{\rho v^2}{2}+\rho gh=\mathrm{const}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Скорость истечения найдите из закона Бернулли для линии тока от поверхности воды до отверстия, а дальность полёта — из времени падения с высоты над землёй.

    Ответ

    Отверстие на высоте \(H=\dfrac{b-a}{2}\) от дна бочки; \(L_{\max}=a+b\).

    Решение

    Рассмотрим линию тока от поверхности воды до отверстия и запишем закон Бернулли. Пусть в некоторый момент высота столба воды над отверстием равна \(h_1\). У поверхности жидкости и снаружи у отверстия давление равно атмосферному. Площадь отверстия много меньше площади поверхности жидкости, поэтому скорость у поверхности пренебрежимо мала по сравнению со скоростью вытекания струи \(v\). Тогда \(\dfrac{\rho v^2}{2}=\rho gh_1\), откуда \(v=\sqrt{2gh_1}\).

    Обозначим расстояние от основания бочки до отверстия \(H\). Отверстие находится на высоте \(H+a\) над землёй, поэтому время полёта \(t=\sqrt{\dfrac{2(H+a)}{g}}\), а длина полёта \[L=vt=2\sqrt{(H+a)h_1}.\] Когда бочка заполнена доверху, \(h_1=b-H\), поэтому \[L_{\max}=2\sqrt{(H+a)(b-H)}=2\sqrt{ab+H(b-a)-H^2}.\] Максимум квадратного трёхчлена под корнем достигается при \(H=\dfrac{b-a}{2}\). На таком расстоянии от дна бочки нужно сделать отверстие; тогда \(L_{\max}=2\sqrt{ab+\dfrac{(b-a)^2}{4}}=a+b\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх