Катер и плот на канале

Выразите длину канала через \(t_c\) и \(t_{\text{пл}}\), затем запишите путь и скорость на двух участках движения катера: разгон до дерева и торможение после него.

Обозначим длину канала \(L\), скорость течения \(u\), модуль ускорения катера \(a\). По условию \(t_{\text{пл}}=\dfrac{L}{u}\), \(t_c=\dfrac{u}{a}\), откуда \(L=a\,t_c\,t_{\text{пл}}\).

Пусть \(t_1\) — время движения до дерева, \(S_1\) — путь до дерева, \(t_2\) — время торможения от дерева до причала, \(S_2\) — путь на этом участке. Тогда \[S_1=ut_1+\frac{at_1^2}{2}, \qquad v(t_1)=u+at_1, \qquad L=S_1+S_2.\] В городе B катер приходит с нулевой скоростью: \(u+at_1-at_2=0\), т.е. \(t_2=t_1+t_c\). Путь на втором участке \(S_2=(u+at_1)t_2-\dfrac{at_2^2}{2}\). Подставляя в \(L=S_1+S_2\) и разделив на \(a\), получаем \[t_1^2+2t_ct_1+\frac{t_c^2}{2}=t_c\,t_{\text{пл}} \quad\Rightarrow\quad (t_1+t_c)^2=t_c\,t_{\text{пл}}+\frac{t_c^2}{2}.\] Отсюда \(t_1=\sqrt{t_c\,t_{\text{пл}}+\dfrac{t_c^2}{2}}-t_c\); при этом \(t_2=\sqrt{t_c\,t_{\text{пл}}+\dfrac{t_c^2}{2}}\).