Затухающие колебания бруска на пружине с сухим трением

Амплитуда колебаний уменьшается на одну и ту же величину при каждом полуколебании, потому что сила трения постоянна по модулю. Сравните работу силы трения с изменением потенциальной энергии пружины на полуколебании.

1) Пусть брусок остановился в первый раз по другую сторону от точки \(O\) на расстоянии \(A_1\) от неё. Из закона сохранения энергии можно показать, что \[A_0 - A_1 = 2\mu x_0\cos\alpha = 8~\text{см}.\] Отсюда \(A_1 = A_0 - 2\mu x_0\cos\alpha = 27\) см.

2) Идут колебания с уменьшающейся амплитудой (расстояние до точки \(O\)). Из закона сохранения энергии можно показать, что при движении как вверх, так и вниз амплитуда уменьшается каждый раз на \(\Delta = 2\mu x_0\cos\alpha = 8\) см. Зона покоя \(x < \mu x_0\cos\alpha = 4\) см, где \(x\) — расстояние от точки \(O\). Если остановка в зоне покоя, то остановка навсегда. У нас \(A_0 = 35\), \(A_1 = 27\), \(A_2 = 19\), \(A_3 = 11\), \(A_4 = 3\) см. Совершено 4 полуколебания, остановка на 3 см ниже точки \(O\).

3) Период колебаний без затухания \(T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{x_0/g}\). Каждое полуколебание длится \(\tau = T/2\), так как это часть колебания со смещённым положением равновесия из-за действия постоянной силы трения. Поэтому \[t = 4\tau = 4\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}} \approx 2{,}3~\text{с}.\]